复数与复变函数习题课.ppt

*一、重点与难点重点：难点：1.复数运算和各种表示法2.复变函数以及映射的概念1.复数方程表示曲线以及不等式表示区域2.映射的概念二、内容提要复数复变函数极限连续性代数运算乘幂与方根复数表示法几何表示法向量表示法三角及指数表示法复球面复平面扩充曲线与区域判别定理极限的计算1.复数的概念2.复数的代数运算1)两复数的和2)两复数的积3)两复数的商4)共轭复数实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.共轭复数的性质（1）几何表示法3.复数的其它表示法复数的模(或绝对值)（2）向量表示法三角不等式复数的辐角模的性质辐角的主值（3）三角表示法利用欧拉公式复数可以表示成称为复数z的指数表示式.（4）指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成则有1乘积与商两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.24.复数的乘幂与方根几何意义从几何上看,两复数对应的向量分别为复数相乘就是把模相乘,辐角相加.两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.则有01022)幂与根n次幂:(b)棣莫佛公式5.复球面与扩充复平面南极、北极的定义(1)复球面21球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.3复球面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.对于复数?来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.(2)扩充复平面的定义01邻域02内点6.曲线与区域(3)开集如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.(4)区域如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(a)D是一个开集；(b)D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.(5)边界点、边界设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.(7)有界区域和无界区域D的所有边界点组成D的边界.(6)区域D与它的边界一起构成闭区域.闭区域(8)简单曲线没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).1任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.32由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.光滑曲线简单闭曲线的性质(10)单连通域与多连通域复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域.