证明复内积空间中的极化恒等式.docx
文本预览下载声明
证明复内积空间中的极化恒等式
矢量空间Rn中的复内积是指对向量任意两个分量的复数乘积之和,其等式的一般表示形式为:
\[\left\langle u, v \right\rangle= \sum_{i=1}^n u_ie_i v_ie_i^*,\]
其中u和v分别为空间中的两个任意向量,u、v的分量u1…un、v1…vn分别表示复数的实数部分和虚数部分,
e1…en 为数量为单位的一维基底向量,e1^*…en^* 为其共轭向量。
极化恒等式是指在矢量空间中,经过(1)或其他方式解释正负号,有关极化的等式:
\[\left\langle u, v \right\rangle= \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i\]
其中α1…αn为u分量的极化形式,β1…βn为v分量的极化形式,它们可以是实数,也可以是复数。
证明:
由(1)可知:
其中u1…un为u分量,v1…vn为v分量,e1…en 为数量为单位的一维基底向量,e1^*…en^*为其共轭向量。
将u1…un、v1…vn分别极化,可得:
将(2)式子代入(1)式子中,可得:
由数量为单位的e1…en 为一维基底向量的性质可知,一维基底向量的复数乘积等于其共轭向量的复数乘积,即:
\[e_ie_i^*=|e_i|^2=1\]
即极化恒等式成立。
显示全部