平面向量系列之极化恒等式.doc

平面向量系列之极化恒等式 平面向量系列之极化恒等式 PAGE PAGE 4 PAGE 4 平面向量系列之极化恒等式 平面向量系列 极化恒等式 一、极化恒等式 极化恒等式： 极化恒等式的几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，即：，如图： 证明： 以上两式相减得： 二、例题精析 1、（2014，浙江高考理）在三角形ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_________ [解析]如图所示，由极化恒等式易得： 2、（2016，长春二模）已知AB为圆的一条直径，点P为直线上任意一点，则的最小值是_______ [解析]如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直直线时，有最小值，即： 3、（2013，湖州二模）正方体的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是_______ [解析] 当弦MN的长度最大时，即MN为圆的直径，由极化恒等式得：当点P在A，C，A1，C1任一点时有最大值，当点P在圆与正方体的切点时有最小值，即：， ，故。 4、（2014，重庆模拟）正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是________ [解析]如图所示，取AB中点D，当点P在C点处时，有最大值，当点P在点C的对称点上时，有最小值。由极化恒等式易得： 5、（2016山西太原一模）在锐角三角形ABC中，已知则的取值范围是______ [解析]由题意知，知一边长度和一个角度，可得锐角三角形的两个临界情况， 当时，由极化恒等式得： 当时，由极化恒等式得： 故的取值范围是 6、（2017，城区校级月考）已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则的最小值是_________ [解析]如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，所以，由极化恒等式得：因此当P为OC中点时，即时， 取得最小值。 7、（2016，温州一模）已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最大值是_________ [解析]如图所示，取CD的中点E，连结PE，由极化恒等式可得：， 所以当P与A（B）重合时，最大，从而