高阶导数和函数的微分.ppt

复 习 基本求导公式 导数的四则运算法则 复合函数的求导法 小结 作业 P51 A组 1 2(1) P53 A组 2 (3) (5) (6) 3 (书上) B组 2 * [f(?(x))]? =f ?(u) ? ?(x) =f ?(? (x)) ? ?(x) 前面我们学习了函数的各种求导法。显然y=x2 的导数是y?=2x，而y?=2x这个函数仍然可导，(2x) ?=2. 定义2.2 对于函数y=f(x)，若其导数y?= f ?(x)可导，则称y?= f ?(x)的导数[f ?(x)]?为函数y=f(x)的二阶导数， 记作： y??或f ??(x)或或y(2)。 即： y??=(y?)?，f ??(x)=[f ?(x)]?。 同样地，若函数y=f(x)可导，且其导数y?= f ?(x)仍然可导，即[f ?(x)]?存在，则称[f ?(x)]?为函数y=f(x)的二阶导数。 §2.4 高阶导数 类似地，若函数y=f(x)的二阶导数y??仍可导，则称y??的导数为y=f(x)的三阶导数， 记作： y(3) ，即y(3) =(y??)?。 依此类推，若函数y=f(x)的n?1阶导数y( n?1) 可导，则称y( n?1)的导数为y=f(x)的n阶导数， 记作： y( n) ，即y( n) =[y( n?1) ]?。 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。 例1 设y=ln(2?2x)，求y?? 解 先求一阶导数 y?=[ln(2 ?2x)]? 再求二阶导数 y?? =(y?)? 例2 设y(6)=x2sinx，求y(8) 解 =2sinx+2xcosx+2xcosx+x2(?sinx) =2sinx+4xcosx ?x2sinx 例3 求下列函数的n阶导数： （1）y=sinx; （2）y=xn. (1) 解: 一般地 , 类似可证: （2） y?=(xn) ? =nx n?1 y?? =(nxn?1) ? =n(n?1)xn?2 y??? =[n(n?1)xn?2]? =n(n?1)(n?2)xn?3 于是，可知 y (n) =n(n?1)(n?2)?????1 =n！ 练习： 1.求下列函数的二阶导数 （1）y=ex?lnx （2）y=x2 e-2x （3）y = 2.求 y = e 2x，(n?N)的n阶导数 §2.5 函数的微分 一、微分概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时, 变到 边长由 其 定义 设函数y=f(x)在点x可导,自变量在点x的改变量为?x， 则乘积函数f ?(x) ?x称为函数y=f(x)在点x的微分， 记为dy. 即 dy= f ?(x) ?x 这时，也称函数y=f(x)在点x可微。 对函数y=x， 由于 y? =(x)?=1 ， 因而 dy=dx=1? ?x = ?x 于是，函数y=f(x)的微分，一般记为 dy=f ?(x) dx 即函数在点x的微分等于函数在点x的导数与自变量微分的乘积。 改写为 导数又称为微商。 练习： 函数y=f(x)可微的充分必要条件是 函数y=f(x)可导。 函数y=f(x)在点x0的微分记为 dy|x=x0 即 dy|x=x0 = f ?(x0) dx 例1 若y =f(x) =x2，求x =1, ?x =0.01时函数的改变量?y与微分dy . 解 由上述条件， x =1, ?x =0.01， 因此 ?y = f(1+?x)?f(1) = (1+?x)2?12 = 0.0201 当x =1, ?x = 0.01时， f ?(1)= (x2)?|x=1=2x|x=1=2， 于是 dy = f ?(1) ? ?x = 2?0.01= 0.02 设y =x2+x，求在x =1, ?x =0.1 ，?x =0.01时函数改变量?y与微分dy . 定理 二、微分计算 dy= f ?(x) dx 例2 求下列函数的微分： 解 （1）由于 所以 （2）由于 所以 （3）由于 所以 练习: 求下列函数的微分： 3.函数微分的求法 1.求导法则及其应用 2.高阶导数 理解高阶导数的概念，掌握二阶导数的求法 dy= f ?(x) dx dy|x=x0 = f ?(x0) ?x *