北京大学《高等数学》第14次课11月2日习题课.pdf
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足球射 门张角问题
2005 考研 1 已知函数 f ( x) 在 [0,1] 上 假定足球门宽度为 4 米, 在距离
连 续 , 在 (0,1) 内 可 导 , 且 右门柱 6 米处一球员沿垂直于
f (0) = 0,f (1) = 1. 证明: 底线的方向带球前进, 问: 他在几
(Ⅰ)存在 0,1 , 使得 f = 1 ;
( ) ( ) 米的地方将获得最大的射 门张角?
(Ⅱ)存在两个不同的点 , 0,1 , 使
( )
得 f f = 1.
( ) ( )
13-17 引申
从半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇形,
问留下的铁片中心角 取多大时,做成
的漏斗的容积最大? 120-15
设
1 2
k k k
P x = c x a 1 x a 2 x a m 也只有 n 1 个根,故, P ( x) 有
n ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( m ) n
(1) n 1 个根.
其中 a a a , 分别为 P ( x)
1 2 m n
的 k ,k ,,k 重根. 120-16
1 2 m
k + k + + k = n. 2 n n n
1 2 m 设 f ( x) = ( x 1) = ( x + 1) ( x 1) ,
由Rolle 定理,在相邻的两个不同根之间,
则f ( x) 为2n 次多项式, 1, 1 都是f ( x)
存在 P ( x) 的一个根,因此 P ( x) 在
n n 的 n 重根. 从 而 1, 1 都是 f ( x)
a ,a ,,a 的间隙里共有 m 1 个 (1)
1 2 m 的 n 1 重根且存在 1, 1 使得
1 ( )
根. (1)
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