北京大学《高等数学》第14次课11月2日习题课.pdf

足球射 门张角问题 2005 考研 1 已知函数 f ( x) 在 [0,1] 上 假定足球门宽度为 4 米, 在距离 连 续 , 在 (0,1) 内 可 导 , 且 右门柱 6 米处一球员沿垂直于 f (0) = 0,f (1) = 1. 证明: 底线的方向带球前进, 问: 他在几 (Ⅰ)存在 0,1 , 使得 f = 1 ; ( ) ( ) 米的地方将获得最大的射 门张角? (Ⅱ)存在两个不同的点 , 0,1 , 使 ( ) 得 f f = 1. ( ) ( ) 13-17 引申 从半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇形， 问留下的铁片中心角 取多大时，做成 的漏斗的容积最大? 120-15 设 1 2 k k k P x = c x a 1 x a 2 x a m 也只有 n 1 个根,故, P ( x) 有 n ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( m ) n (1) n 1 个根. 其中 a a a , 分别为 P ( x) 1 2 m n 的 k ,k ,,k 重根. 120-16 1 2 m k + k + + k = n. 2 n n n 1 2 m 设 f ( x) = ( x 1) = ( x + 1) ( x 1) , 由Rolle 定理,在相邻的两个不同根之间, 则f ( x) 为2n 次多项式, 1, 1 都是f ( x) 存在 P ( x) 的一个根,因此 P ( x) 在 n n 的 n 重根. 从 而 1, 1 都是 f ( x) a ,a ,,a 的间隙里共有 m 1 个 (1) 1 2 m 的 n 1 重根且存在 1, 1 使得 1 ( ) 根. (1)