多元复合函数和隐函数求导.ppt

* 第四节 多元复合函数与隐函数求导 一、多元复合函数的求导法则 二、隐函数的微分法 一、多元复合函数的求导法则 以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 设函数 ， 而u，v又都是x，y的函数 于是 是 和 复合而成的复合函数，其中u和v为中间变量。 关于这个复合函数的导数我们有如下的定理： 定理1：设函数 在点(x,y)处有偏导数， 在相应的点(u,v)处有连续的偏导数，则复合函数 在点(x,y)处有偏导数，其满足： 设自变量x有一改变量Δx,则相应地，u和v有改变量 — — 证明： 只证第一个公式，第二个可同理证明。 函数 在相应点(u,v)处相应于Δx的全增量 — 由于 有连续的偏导数，所以 其中 上式两边同除以 得 当 时， 而 这样，就有 所以 因而必有 成立。 同理可证 多元复合函数的求导法则又形象地成为链式求导法则。 例1 设函数 解： - - - - - - - 对于具有三个中间变量的函数 u，v，w分别是x，y的函数，有 其中 解： 令 - 例2 设函数 - 则 所以 - - - - - - 当然我们同理也可求得 下面我们再讨论几种形式的复合函数的求导： （1） 则 称之为全导数。 例3 设函数 解： 令 - 故 - - （2） 例4 设函数 解： 令 （3）抽象函数的求导方法及记号 例5 设 连续偏导数，求 - 则 于是 解： - - - 例6 解： 注意： 上式中的 与 不是一个概念。 例7 设 求 - 解： - 例8 设 求 解： - - *