2018年多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式.doc

多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式 　　8.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式 一(多元复合函数的求导法则 　　类似于一元复合函数的定义,我们现在给出二元复合函数的定义。 　　z,f(u,v)u,u(x,y)定义 设函数，而u、v均为x、y的函数，即，v,v(x,y)z,f[u(x,y),v(x,y)]，则函数叫做x、y的复合函数。其中u、v叫做中间变量，x、y叫做自变量。 　　现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则，推广到多元复合函数。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。 　　u,u(x,y)v,v(x,y)定理 如果函数，在点(x,y)处都具有对x 　　z,f(u,v)及对y的偏导数，函数在对应点(u,v)处具有连续偏导数，则 　　z,f[u(x,y),v(x,y)]在点(x,y)处存在两个偏导数，且具有下复合函数 　　列公式 　　,z,z,u,z,v,， ,x,u,x,v,x 　　,z,z,u,z,v,， ,y,u,y,v,y 　　定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则，它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。 　　作为初学者，我们常用图示法表示各变量之间的关系(如图所示)。 　　u x 　　　　z 　　v y 　　,z图中的每一条线表示一个偏导数，如“z—u”表示。现在我们利用,u 　　,z图来求，首先看z通过中间变量到达x有两条路径:和z,u,x,x 　　，那么结果就一定是两项之和，又在第一项中有和 z,v,xz,u 　　,z,u两个环节，那么这一项一定是两式相乘，即。同理第二项为u,x,u,x 　　,z,v。于是 ,v,x 　　,z,z,u,z,v,， ,x,u,x,v,x 　　一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路 　　径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘。 　　,zy,z2v,2x，3yz,ulnv例1 设，而，，求 ，。 u,,yx,x解 函数各变量之间的关系如上图所示，由锁链法则 　　2,z,z,u,z,vyu,，,2ulnv,(,)，,2 2,x,u,x,v,xvx 　　222y2y ,,ln(2x，3y)，32xx(2x，3y) 　　2,z,z,u,z,v1u,，,2ulnv,，,3 ,y,u,y,v,yxv 　　22y3y ,ln(2x，3y)，22xx(2x，3y) 　　2xy22例2 求 的一阶偏导数。 z,esin(x，y) 　　解 可以引入中间变量，按复合函数的求导法则计算。 　　u22u,2xyz,esinv设 ，，则 。函数各变量之间的关系v,x，y 　　如上图所示，由锁链法则 　　,z,z,u,z,vuu ,，,esinv,2y，ecosv,2x,x,u,x,v,x 　　2xy2222 ,2e[ysin(x，y)，xcos(x，y)],z,z,u,z,vuu,， ,esinv,2x，ecosv,2y,y,u,y,v,y 　　2xy2222 ,2e[xsin(x，y)，ycos(x，y)] 　　,z,z24z,f(x,u)例3 设的偏导数连续，且，求 ，。 u,3x，y,y,x 　　解 函数各变量之间的关系如图所示，由锁链法则 　　x 　　z 　　u y 　　　　,z,f,f,u,,,, f(x,u)6xf(x,u),，,f(x,u)，f(x,u),6x,，xuxu,x,x,u,x 　　,z,f,u3,4yf(x,u),, u,y,u,y 　　P练习 32 1(1) 　　,z,zz,f(x，y,xy)例4 设函数可导，求 ，。 ,y,x 　　解 可以引入中间变量，按复合函数的求导法则计算。 　　z,f(u,v)设 u,x，y，，则 。函数各变量之间的关系如v,xy 　　例1图所示，由锁链法则 　　,z,f,u,f,v,f,f,f,f,,，，y ,1，,y,,x,u,x,v,x,u,v,u,v 　　,f,u,f,v,f,f,f,f,z,，,，x ,1，,x,,y,u,y,v,y,u,v,u,v 　　dzyz,xy,cost例5 设 ，而x,sint，，求 。 dt 　　解 函数各变量之间的关系如下图所示，由锁链法则 　　x 　　z t 　　y 　　　　dz,zdx,zdyy,1y,，,yxcost，xlnx(,sint) dt,xdt,ydt 　　y,1y ,yxcost,xlnxsint 　　cost,12cost，1 ,(sint),cost,(sint)lnx 　　,