多元复合函数求导法则.doc

§4 多元复合函数的求导法则 【目的要求】 1、掌握多元复合函数及几种特殊复合函数的求导法则； 2、理解全导数的概念； 3、会利用多元函数的一阶全微分形式不变性求偏导数． 【重点难点】 各类型复合函数求导公式及计算；各变量之间的复合关系． 【教学内容】 在第二章中，我们学习了一元函数的复合函数求导，现将一元复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形，按照多元函数的不同复合情形，分三种情形讨论. 一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形. 图4-25定理4.1 如果函数及都在点可导，且函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数为 图4-25 。 证 设取得增量,这时，的对应增量为,函数相应地获得增量.由于函数可微,所以有可以表示为 其中. 将上式两端同除以,得 由于在点可导,所以当时,，从而,并且有 . 于是 , 所以 。 这就证明了复合函数 在点可导,且公式成立. 导数称为全导数． 同理，我们可以把定理推广到对于中间变量多于两个的复合函数情形。例如，若，，，复合而的复合函数 满足定理条件，则有全导数公式 。 例1 设函数，而，，求全导数． 解 ． 例2 设，，求。 解 由 ， 以及当时，，可得。 二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形． 定理4.2 若及在点具有对、的偏导数，而函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点两个偏导数存在，且有 ； 。 例3 设函数，而，，求 和． 解 ． 图4-26 图4-26 首先从自变量向中间变量画两个分枝，然后再分别从向自变量画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数．求（）时，我们只要把从到（或）的每条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到 ，（） 类似地，对于中间变量多于两个的复合函数情形，有同样的结论。例如，设函数，，都在点有对、的偏导数，而函数在对应点偏导数连续，则复合函数 在点的两个偏导数存在，且有 ； ． 三、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形． 图4-27定理4.3 设函数具有偏导数，而函数可微，则复合函数在点偏导数存在，且有公式 图4-27 ； ． 特别要强调的是，与有很多的区别：是把函数中的看成常数，对求偏导，是把中看常数，对求偏导．前者是复合后对的偏导数，后者是复合前对的偏导数． 由此可见，多元复合函数微分法的关键在于区分清楚函数结构中哪些是中间变量，哪些是自变量。 对于抽象函数的复合函数的求偏导数问题，如函数，是因变量，是自变量。若设中间变量，则在这个函数关系中，中间变量与自变量的函数关系没有具体给出，这就是 “抽象”的意义。这样的函数求偏导数时，要按复合函数求偏导数公式计算，但是最后结果中，因变量对中间变量和的偏导数只能以“抽象”的形式出现。 例3设,其中具有连续偏导数,求和. 解 设 ,则 例4．设函数，而，求和． 解 ． 若函数，，二阶偏导数连续，则复合函数 存在二阶偏导数． 记号，，，． 例5 设复合函数，其中对具有二阶连续偏导数，求． 解 设， ． 四、全微分形式不变形 设函数具有连续偏导数，则全微分 ， 若函数，有连续偏导数，则复合函数 的全微分为 ． 可见无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性． 例6 利用全微分形式不变性求微分，其中，． 解 因为 又因为 ，， 所以 若先求出 ，代入公式得结果完全一样．