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第7章 标准化期权的解析法定价;背景;内容;7.1 风险中性定价的直觉分析;图7-1：期末资产价格和看涨期权价值的二项式点阵Today——当前；3 months——三个月后;买入一单位资产并卖出n份看涨期权;;7.1.2风险中性假设下二项式模型定价;7.1.3 风险厌恶假设下二项式模型定价;前面第3章我们已推导了预期收益和风险之间的取舍关系，该关系称为资本资产定价模型（CAPM），也表明资产的预期回报率为;因此，看涨期权经风险调整的预期回报率为 :;将0.02替代（7-3）中的 ;7.2 服从对数正态分布的价格; 股票价格的行为过程： 股价运动一般没有规律可循，但我们可以用一种随机过程来刻画股价的运动。 随机过程：如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。 马尔可夫过程。;几种特殊的马尔可夫过程;几种特殊的马尔可夫过程;几种特殊的马尔可夫过程;3.ITO过程;例： 一种不付红利的股票，波动率为每年30%，预期收益率以连续复利计每年15%，即 ，则股票价格的行为过程为： ; 的问题是不能随时间加总 假设第一个月资产价格由50变为100，然后第二个月变回50，第一个月的收益率是100%，第二个月为-50%，因此两个月总的收益率为50%。显然这不对，因为资产在两个月中开始是50，结束也是50，它的实际收益率为0。;为了避免这种问题，我们采用资产价格的对数形式。 ;4.ITO定理和股票价格的对数正态分布（附录7-A） ;4.ITO定理和股票价格的对数正态分布; 取回指数形式得： 数学期望：;4.ITO定理和股票价格的对数正态分布;4.ITO定理和股票价格的对数正态分布;4.ITO定理和股票价格的对数正态分布;7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率;7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率;7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率;7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率;7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率;7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率;7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率;7.2.4 计算有条件的预期资产价格;7.2.4 计算有条件的预期资产价格;7.2.4 计算有条件的预期资产价格;7.2.4 计算有条件的预期资产价格;7.3 欧式看涨期权的定价;BSM微分方程的导出（附录7-E）;（二）Black-Scholes微分方程的建立;我们可以构造这样的投资组合： （1）卖出一份衍生证券； （2）买入 份股票。 则该证券组合的价值为： 在 时间后，该证券组合的价值变化： ;代入，得： (Black-Scholes微分方程);对应于不同基础证券S定义的不同衍生证券，方程有不同的解。解方程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件。 对于欧式看涨期权，边界条件为： 对于欧式看跌期权，边界条件为： B-S微分方程不包含投资者对股票的预期收益 ，从而它独立于风险偏好。;根据风险中性定价理论，欧式看涨期权到期日的期望值为： 由于是风险中性的，欧式看涨期权的价格C是这个值以无风险利率r贴现的结果： 风险中性下 股价对数服从的正态分布为： （r=α);记： 所以： 假设ST的概率密度为gs(y)，则由对数正态分布的概率密度公式得：; ;右边第一项为：;第二项为： 其中：;所以： ;在投资者风险厌恶的前提下，欧式看涨期权的定价是： ; 代入表达式，得： 是到期日执行看涨期权所得预期收益的现值乘以期权盈利的概率。 是执行看涨期权成本的现值乘以期权盈利的概率。 缺点：需要估计资产和看涨期权经风险调整的价格升值率。;在风险中性的假设下，资产和期权的预期回报率是无风险利率，因此，支付固定收益率i的资产预期价格升值率为αs=b(=r?i)，b为风险中性的资产价格升值率，看涨期权的预期回报率为 ，将之代入Samuelson公式可得欧式看涨期权的价值为：(BSM公式) ;因为b≡r?i，BSM公式经常写为： 这个公式涵盖了从无股息支付股票、股票指数、外汇，到期货等一系列基础资产的看涨期权定价。这些不同基础资产的期权定价公式，区别在于风险中性的资产价格升值率参数b不同。当无股息支付时，i＝0，我们就得到了最一般的BSM公式 ： 正如我们之前推导的一样。;无股息支付的股票期权：b=r i=0 固定股息收益率的股票期权（ Merton模型）: