机器人学之齐次变换详解.ppt

* 齐次变换可以用来描述空间坐标系的位置与方向。如果坐标系被固定在物体或机械手连杆上，那么该物体或机械手的位置与方向同样很容易被描述。 物体A相对于物体B的齐次变换可以求其逆，来获得物体B相对于物体A的描述。 变换可以表示为旋转变换和/或平移变换的乘积。如果变换是从左到右，那么旋转和/或平移是相对于当前的坐标系。如果变换是从右到左，那么旋转和/或平移是相对于参考坐标系进行。 齐次变换用正交分量来描述坐标系，即用角度的正弦和余弦。这种描述可与旋转联系起来。在一般性旋转的情况下，旋转是绕任意向量旋转θ角。 小 结 * 省略T * 2.3 齐次变换与齐次变换矩阵 齐次变换 齐次变换是在齐次坐标描述基础上的一种矩阵运算方法，齐次变换使齐次坐标作移动 、旋转 、透视 等几何变换。 非齐次 齐次 * 旋转 平移 透视 比例（缩放） 计算机图形学 齐次变换矩阵 2.3 齐次变换与齐次变换矩阵 齐次变换矩阵 * 透视变换（Perspective transformation）举例 * 因此，进行机器人运行学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵为 [0 - 0]，没有摄像头时为[0 0 0 ] 。 透视变换（Perspective transformation）举例 * 平移齐次坐标变换 旋转齐次坐标变换 Translation transformation Rotation transformation 2.4 齐次变换矩阵运算 齐次坐标变换 注意：平移矩阵间可以交换， 平移和旋转矩阵间不可以交换 * 对于坐标系{A}、{B} ，{A}是参考坐标系， {B}相对于{A}的联体坐标系。 {B}相对于{A}的描述为： {A}相对于{B}的描述为： 2.4 齐次变换矩阵运算 齐次坐标变换的逆变换 * 例题1：坐标系 {B} 的初始位姿与参考坐标系 {A} 相同，坐标系 {B} 相对于 {A} 的 zA 轴旋转 30?，再沿 {A} 的 xA 轴移动 12，沿 {A} 的 yA 轴移动 6。求位置矢量 ApB 和旋转矩阵 。假设 p 点在坐标系 {B} 的描述为 Bp=[5 9 0]T，求其在坐标系 {A} 的描述。 解： 2.4 齐次变换矩阵运算 * Ap?、 Bp?称为点的齐次坐标， 为齐次坐标变换矩阵 例题2：对于例题1利用齐次坐标求解Ap。 * 纯平移变换与变换次序无关 旋转变换与变换次序有关 复合变换与变换次序有关 2.4 齐次变换矩阵运算 齐次坐标变换的顺序问题 * 绕当前轴 开始{B}、{A}重合，然后先绕XA轴转α 得到新坐标系{C} ，再绕当前轴YC轴转β得到要求的坐标系{B} 。 绕当前轴（即相对于运动坐标系） 右乘 2.4 齐次变换矩阵运算 齐次坐标变换的顺序问题 * 绕固定轴 开始{B}、{A}重合，然后{B}先绕XA轴转α ，再绕YA轴转β。 2）{C}、{A}重合， {C}再绕YA轴转β 得到{B}中的矢量在{A}中的表示 绕固定轴 （及相对固定坐标系） 左乘 2.4 齐次变换矩阵运算 齐次坐标变换的顺序问题 * 刚体位置描述：利用齐次坐标变换可以描述刚体的位置和姿态。刚体上其它点在参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获得。 例题3：下图中的物体可以由{(1,0,0), (-1,0,0), (-1,0,2), (1,0,2), (1,4,0), (-1,4,0)}表示。如果该物体在基坐标系中先绕z轴旋转90°，再绕y轴旋转90°，再沿x轴平移4，求物体6个顶点的位置。 x y z o o1 选取物体上与o点重合的点o1为刚体坐标系原点，其初始坐标轴x1y1z1 方向与 xyz 坐标系相同。 2.4 齐次变换矩阵运算 齐次坐标变换举例 * 先绕 z 轴旋转 90° 再绕 y 轴旋转 90° 再沿 x 轴平移 4 x y z o o1 y x z o o1 x1 y1 z1 x y z o o1 x1 z1 y1 y x z o o1 x1 y1 z1 2.4 齐次变换矩阵运算 * ? ? x y z o o1 x y z o o1 x1 z1 y1 x y z o o1 x1 z1 y1 x1 o1 x y z o z1 y1 对于右乘的结果： （相当于在新坐标系中变换） 2.4 齐次变换矩阵运算 * 刚体的6个顶点在基坐标系中的位置： 2.4 齐次变换矩阵运算 * 对于坐标系{A}、{B}、{C}，{A}是参考坐标系， {B}相对于{A}的坐标以及{C}相对于{B}的坐标称