高中数学平面向量培优难点突破（共6个微专题）知识点+例题+练习.pdf

微专题1.等和线及应用

如图所示，由于AR3三点共线，故办=%•—+〃・加当且仅当2+〃=1.一步，若

———m-Ti-——

OQ-m•OA+nOB=(jn+n)(OAHOB)=(m+n)-OP=k•OP,

~m+nm+n

由于点尸在直线A5上的任意性可知，点。所动成的直线平行于直线A3,且直线。。上任意一

点都满足^^=左，故称直线CD为等和线.此时A0LB相似于AOCD,因此，我们就可以取特

\OP\

殊情形，即过三点OPQ的直线分别垂直于A3,C。时，计算匕

例1.(2017年3卷)在矩形A3CD中，AB=1,AD=2,点尸在以。为圆心且与相切的圆上,

若求4+〃的最大值.

IAp\

解析：如图，由等和线性质可知，4+〃=^^,显然，当5。的平行线/与圆在最上方相切时，彳+〃

\AE\

取最大，显然此时，直线3。的方程为％+2y—2=0,故可取|AE为点A(0,0)到直线的距离

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AE=7W.由于的平行线/与圆(x—2)2+(y—1)2=g相切，故可得/的方程为

x+2y-6=0,那么取AP为点A(0,0)到直线1的距离AE=^.这样就可得到

IAP

(X+〃)max

\AE\

练习题

给定两个长度为3的平面向量函和砺，它们的夹角为120°,如图所示，点C在以。为圆

心的圆弧AB上运动，若反丽，其中羽yeH,则尤+y的最大值是

2x+y的最大值是.

【解析】(1)AB交C。于D,设e(0,+co),易证x+y=/

OC,工

,当。©_LAB时,/取最大值，?=2；

OMmax

(2)取OA中点E,贝。反=2x砺

OC交BE于F,设花=加而，me(0,o),易证2x+y=f

f=空，当OCL3E时，/取最大值，姮.

OF3

微专题2.极化恒等式

--TT----TT

由于(。+沙)2++(a—b)2=/+〃—2a。两式相减可得: