高中数学平面空间向量知识点总结.doc

平面向量

知识点归纳

一.向量的根本概念与根本运算

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小．

②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量

④平行向量〔共线向量〕：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

2、向量加法：设，那么+==

〔1〕；〔2〕向量加法满足交换律与结合律；

，但这时必须“首尾相连”．

3、向量的减法：①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量

②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量〔、有共同起点〕

4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：

〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的

5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=

6、平面向量的根本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：

假设，那么

假设，那么

假设=(x,y)，那么=(x,y)

假设，那么

假设，那么

假设，那么

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

两个非零向量与，它们的夹角为，那么·=︱︱·︱︱cos

叫做与的数量积〔或内积〕规定

2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影

3数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积

4向量的模与平方的关系：

5乘法公式成立：

；

6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：

②对实数的结合律成立：

③分配律成立：

特别注意：〔1〕结合律不成立：；

〔2〕消去律不成立不能得到

〔3〕=0不能得到=或=

7两个向量的数量积的坐标运算：

两个向量，那么·=

8向量的夹角：两个非零向量与，作=,=,那么∠AOB=〔〕叫做向量与的夹角

cos==

当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：如果与的夹角为900那么称与垂直，记作⊥

10两个非零向量垂直的充要条件：

⊥·＝O平面向量数量积的性质

空间向量与立体几何

1、空间向量及其运算：

〔1〕空间中的平行〔共线〕条件：

〔2〕空间中的共面条件：共面〔不共线〕

推论：对于空间任一点和不共线三点、、，，那么四点、、、共面

〔3〕空间向量分解定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量

〔4〕空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算

假设，那么：

注1：数量积不满足结合律；

注2：空间中的基底要求不共面。

2、空间向量在立体几何证明中的应用：

〔1〕证明，即证明

〔2〕证明，即证明

〔3〕证明〔平面〕〔或在面内〕，即证明垂直于平面的法向量或证明与平面内的基底共面；

〔4〕证明，即证明平行于平面的法向量或证明垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；

〔5〕证明两平面〔或两面重合〕，即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；

〔6〕证明两平面，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。

3、空间向量在立体几何求值中的应用：

异面直线和的成角

直线和平面的成角〔为平面的法向量〕

平面与平面的成角〔，分别为两平面的法向量〕

或

〔需具体分析取哪一个〕

点到平面的距离〔为平面的法向量〕

〔其中点为平面内任意一点〕

直线平面〔〕的距离

转化为点到平面的距离

平面与平面〔〕的距离〔为平面的法向量〕

转化为平面内的点到平面的距离

异面直线和的距离〔为既垂直于也垂直于的向量〕

〔可以用，，，即两直线上分别取一点〕

空间两点，的距离

坐标形式下：两点间距离公式

基底形式下：假设表示成，那么可以得到：

平面向量真题集训

2004年

〔9〕平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，那么＝，其中＝〔???〕

〔A〕〔B〕－〔C〕2〔D〕－2

2005年

8.点A〔，1〕，B〔0，0〕C〔，0〕.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于〔???〕

A.2???B.????C.－3????D.－

2006年

〔1〕〔文〕向量＝〔4，2〕，向量＝〔，3〕，且//,那么＝()

〔A〕9(B)6(C)5