高中数学平面向量知识点总结与常见题型.docx

PAGE 1 平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量｜｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同 = 6 \* GB3 ⑥相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作. 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设，则+== （1）；（2）向量加法满足交换律与结合律； “三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 3向量的减法 ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量 记作,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=； (iii)若、是互为相反向量，则=,=,+= ②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差， 记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点） 4实数与向量的积： ①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理： 向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得= 6平面向量的基本定理： 如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示： 如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 2平面向量的坐标运算： 若，则 若，则 若=(x,y)，则=(x, y) 若，则 若，则 若，则 三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos 已知两个向量，则·= 2向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角 cos== 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800. 4向量的模： 5.向量平行：若，则 6．向量垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥ ⊥·＝O 平面向量常见题型 题型1.基本概念判断正误： 1.给出下列命题： ① 若||＝||，则=； ② 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③ 若=，=，则=， ④=的充要条件是||=||且//； ⑤ 若//，//，则//， 其中正确的序号是 题型2.向量的加减运算 1．下列命题中正确的是（ ） A． B． C． D． 2.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则 . 3.化简 . 4．若菱形的边长为，则__________. 5.已知的和向量，且，则 ， . 6.已知点C在线段AB上，且,则 ， . 题型3.向量的数乘运算 1.计算：（1） （2） 2.已知，则 . 题型4. 作图法球向量的和 已知向量，如下图，请做出向量和. 题型5.根据图形由已知向量求未知向量 已知在中，是的中点，请用向量表示. 2.在平行四边形中，已知，求. 3.已知向量，，，若用和表示，则=____。 4.已知，，，请将用向量表示向量. 题型6.向量的坐标运算 1.已知，，则点的坐标是 . 2.已知，，则点的坐标是 . 3.若物体受三个力,,,则合力的坐标为 . 4.已知，，