武汉大学《高等数学》2007—2008学年第二学期《高等数学B2》考试试题及答案（A卷）.doc

武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学B2》（180学时）考试试题 （A卷） 一、（36分）试解下列各题： 1、求通过直线且平行于直线的平面方程； 2、在两边向量为的中，求边上的高； 3、求曲面在点处的切平面和法线方程； 4、设，求二阶偏导数； 5、计算二重积分，其中； 6、交换积分次序。 二、（10分）求函数的极值。 三、（12分）设函数具有连续导数，曲线积分与路径无关, 1、求满足条件的函数； 2、计算的值。 四、（12分）证明级数收敛，并求其和。 五、（15分）1、求函数的二阶偏导数； 2、问微分方程的哪一条积分曲线通过点，在这点处有倾角为的切线，且。 六、（15分）试求向量穿过由所围成区域的外侧面（不包含上、下底）的流量。 武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学B2》（180学时A卷)考试试题参考解答 一、解: 1、通过直线的平面束方程为： （1） 欲使平面（1）平行于直线，则 代入（1）得所求平面方程为： 2、的面积为:, 又,,故 3、设 故得曲面在点处的法向量为：。 故切平面方程为：即 法线方程为： 4、，， 5、 6、由已知得：，所以有：原式 二、解： 又求二阶导数： 在点处，，故为所求极小值。 三、解：1、由 且 得 解得： 由，得： 所以 2、 四、解：级数可写为，由 故级数收敛。 作函数级数此级数的收敛区间为，两边积分，有： 将上式两边微分得： 故 五、解：1、 当时， 所以 2、此方程的特征方程为：，解得：，即微分方程的通解为：，由积分曲线通过点，故得， （1） 又在这点处有倾角为 的切线，故有， 即 ， （2） 由题设知，即 （3） 联立（1）、(2)、(3)解得： 则所求积分曲线为： 六、解： 补充有向平面方向分别向下和上，记为圆台外侧，法向向外，是由 所围成的闭区域，为的边界曲面的外侧，则所求流量为： 所以 1