北京林业大学《高等数学B》李扉-2007-2008学年高等数学A-上综合测试题解答.doc

2007--2008学年高等数学A（上）综合测试题答案 班级 学号 姓名 成绩 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 已知，则=. 2. 设，则=1 ,=-1 . 3. 设参数方程为；则2 . 4. . = . 5．=. 6. 设在处连续,则的关系是. 7. 定积分=1 . 8．设，则 . 9．，则常数=. 10. . 二、计算题（每题4分，共36分） 1．计算 2 求极限 解： 解： 或 3. 计算 4. 计算 解： 解： = = = = = = = 5. 设,求. 6. 解：令 解： = = = = 7. 设是由方程所确定的隐函数，求。 解： 8. 设，其中为可导函数，求. 解：方程两边求导 令 得 , 即 这是一个一阶线微分方程，求解得. 由 得，所以 9. 求微分方程满足初始条件的特解. 解：特征方程为，特征根为 所以对应齐次方程的通解为： 原方程具有特解，代入原方程得, 即 故原方程的通解是 . 由初始条件得, 所求的解是 三、证明题(共12分) 1.（6分）设，证明 证明： 所以，在上单调增加，又 故当时，，即 2.（6分） 证明至少存在一点使得 证明: 设, 于是由罗尔中值定理得; 即至少存在一点使得. 四、综合题 (共22 分) 1.（6分）已知曲线经过原点，并且在原点的切线平行于直线，若，且在处取得极值，试确定的值，并求出函数的表达式. 解:1)由于“过原点的切线平行于”， . 2）“在处取得极值”（连续、可导），， ， 2.（10分）已知曲线 与曲线在点处有公共切线，求 (1)常数及切点；(3分) (2)两曲线与轴所围平面图形的面积；（4分） (3)两曲线与轴所围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积.（3分） 解：（1）分别对，求导，得和, 由 ，得. 将代入两曲线方程得: , 解得，得切点为. （2） . （3）旋转体的体积 3.（6分） 设连续,,且 (为常数), 求,并讨论在的连续性. 解; 令 ,(), 因为,所以, (), 故在处连续.