北京林业大学《高等数学B》李扉-7-6.PPT

微分方程 第六节 高阶线性微分方程 线性微分方程的解的结构 二阶线性微分方程 线性 (higher-order linear ordinary differential equation) 二阶 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 微分方程 形如 一、二阶线性微分方程 线性 微分方程 n阶 线性 定理1 证 叠加原理 一定是通解 (1) 二、线性微分方程的解的结构 解, 1.二阶齐次方程解的结构 齐次 线性无关 定义 线性相关. 否则称 线性无关. 如 线性相关 恒等式成立 如果存在n个不全为零的常数, 使得当x在该区间内 那末称这n个函数在区间I内 为定义在区间I内的n个函数. 特别地 如 线性无关. 定理2 通解 为了求 只要求它的两个线性无关的特解. 线性无关 的特解, 那末 也是(1)的 齐次 线性方程的通解, 若在I上有 通解. 定理2 推论 是n 阶齐次 线性方程 的n 个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为 其中 为任意常数. 可推广到n 阶齐次线性方程. ) ( ), ( ), ( 2 1 x y x y x y n L 如果函数 2.二阶非齐次线性方程的解的结构 定理3 的一个特解, 为了求 非齐次线性方程的一个特解 和对应齐次线性方程 只要求得: 的通解. 非齐次 (2) 非齐次 线性方程的通解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 是二阶非齐次线性微分方程(2)的 通解. 是二阶非齐次线性微分方程 已知 的通解. 又容易验证 是所给方程的一个特解. 是非齐次方程的通解. 如 是二阶非齐次线性方程 是对应齐次方程 解的叠加原理 定理4 之和, 的特解, 那么 就是原方程的特解. 定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程. 求解 解 的通解是 再考虑两个方程 分别是原方程的特解. 所以原方程的通解为 例 线性微分方程解的结构 线性相关与线性无关的概念 三、小结 线性微分方程的概念 思考题 都是微分方程: 求此方程的通解. 的解, 齐次方程的特解. 非齐次线性方程的两个特解之差 是对应 结论 方程的通解为 因而, 齐次线性方程的通解 解 都是微分方程: 求此方程的通解. 的解, 线性无关. 所以, 作 业 习题7-6(331页） 2. 3. * *