武汉大学2008—2009学年第二学期《高等数学B2》考试试题及答案(B卷).doc

武汉大学2008—2009学年第二学期《高等数学B2》考试试题 （B卷） 一、（18分）1、将展开为的幂级数； 2、指出该幂级数的收敛域； 3、求级数的和． 二、（18分）设微分方程 1、 证明：若，则方程有一特解；若，则方程有一特解。 2、 根据上面的结论，求 的通解和满足初始条件的特解。 3、求满足初始条件 的特解。 三、（12分）计算 ，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域． 四、（10分）设，其中函数具有二阶连续的偏导数，求． 五、（10分）求幂级数的收敛域（端点情形要讨论）． 六、（12分）利用Gauss（高斯）公式计算曲面积分 ， 七、（12分）设，试确定函数，使得曲线积分 在或在的域内与路径无关，并求由点到的上述积分 ． 八、（8分）判别级数的敛散性． 武汉大学2008—2009学年第二学期《高等数学B2》考试试题参考解答 （B卷） 一、（18分） ⑴. 将展开为的幂级数；⑵. 指出该幂级数的收敛域； ⑶. 求级数的和． 解：1、因为 ，且，所以， 而 所以 2、幂级数的收敛域为． 3、令，则有 ． 二、（18分）设微分方程 （1）证明：若，则方程有一特解；若，则方程有一特解。(2) 根据上面的结论，求 的通解和满足初始条件的特解。（3）求满足初始条件 的特解。 解：1、直接验算即可 2、将微分方程变形为 因为 ，由（1）知 都是方程的特解，且常数，故通解为 . 由初始条件得 ，故所求特解为 3、的通解为 . 由知， ,于是 . 从而 得 ，故所求特解为 三、（12分）计算 ，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域． 解：作极坐标变换 则有 四、（10分）设，其中函数具有二阶连续的偏导数，求． 解： 所以， 五、（10分）求幂级数的收敛域（端点情形要讨论）． 解：设， 则 ， 所以，收敛半径为， 当时，级数为 而 所以，因此，级数发散．同理，当时，级数也发散 所以幂级数的收敛区间为 六、（12分）利用Gauss（高斯）公式计算曲面积分 ， 其中为球面的外侧． 解：，， 所以， 所以，由Gauss公式，得 其中为空间区域 ……4 而的重心为，又设的体积为，则 ，， 因此， 七、（12分）设，试确定函数，使得曲线积分 在或在的域内与路径无关，并求由点到的上述积分 ． 解：因为， 由于曲线积分在或在的域内与路径无关，因此 所以得微分方程 解此方程，得通解 代入，得 所以，所求函数为 八、（8分）判别级数的敛散性． 解： 而 所以，由比值判别法，知级数收敛． 再由比较判别法知级数收敛． 经济与管理学院第六届团支书联席会期末复习宝典 1 由各班团支书搜集，团支书联席会秘书长蒋润珠，副秘书长董叶子、杨梦楠、周家伊、朱怡哲整理。