武汉大学《高等数学》2008—2009学年第二学期《高等数学B2》考试试题及答案（A卷）.doc

武汉大学2008—2009学年第二学期《高等数学B2》试题 （A卷） 一、（30 分）试解下列各题： 1、（6分）求解微分方程满足的特解。 2、（6分）求曲面在点处的切平面方程。 3、（6分）已知级数在处收敛，试讨论此级数在处的敛散性。 4、（6分）计算，其中由所围成的区域。 5、（6分）判别级数的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 二、（10分）函数由方程所确定， 是不全为零的常数，证明： 。 三、（12分）设，而，其中二阶可导，求。 四、（10分）试将函数展成的幂级数。 五、（10分）设 （1）求在点处的梯度及方向导数的最大值； （2）问：在哪些点的梯度垂直于轴。 六、（10分）计算曲面积分 ,其中为曲面 ，取下侧。 七、（10分）设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分与路径无关，求函数。 八、（8分）将正数分为正数之和,使得最大(其中为已知正数)。 武汉大学2006—2007学年第二学期《高等数学B2》试题A参考解答 一、（30分）试解下列各题： 1、（6分）求解微分方程满足的特解。 解：由，得，即 而，故 2、（6分）求曲面在点处的切平面方程。 解 设 故曲面在点处的切平面的法向量为： 所以切平面方程为： 3、（6分）已知级数在处收敛，试讨论此级数在处的敛散性。 解 由阿贝尔定理知，此级数在即时绝对收敛，故此级数在处绝对收敛。 4、（6分）计算，其中由所围成的区域。 解：由对称性， 5、（6分）判别级数的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 解：，由比值判别法知原级数的绝对值级数收敛，故原级数绝对收敛. 二、（10 分） 函数由方程所确定， 是不全为零的常数，证明： 证明：方程两边同时对求偏导得 故 三、（12分）设，而，其中二阶可导，求。 解 因为 所以 四、 （10分）试将函数展成的幂级数． 解 因为 ，则得 （也可利用求解） 五、（10分）设 （1）求在点处的梯度及方向导数的最大值； （2）问：在哪些点的梯度垂直于轴。 解 （1） 由 故 所以在点处方向导数的最大值为： （2）由，而轴，即，由此得： 所以平面上的点处的梯度垂直于轴。 六、（10分）计算曲面积分 ，其中为曲面 ，取下侧． 解：取平面，取上侧．则与构成封闭曲面，取外侧．令与所围空间区域为，由Gauss公式，得 七、（10分）设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分与路径无关，求函数。 解 由题意得： 即 特征方程，特征根 对应齐次方程的通解为： 又因为是特征根。故其特解可设为： 代入方程并整理得： 即 故所求函数为： 八、（8分）将正数分为正数之和,使得最大。(其中为已知正数) 解法一 化为无条件极值求解,即求的极值。 令 即 解之得 ， 再由 求得 。 当，或或时,均为0,不可能为最大,故将分成的三个正数为，，。 解法二 利用拉格朗日乘数法求解.作函数 令 及 将(1)，(2)，(3)中之移至等式右端,记为然后由得 得 并将其代入(4),从而得到所求三个正数为 ，，。 解法三 因为,故当最大时也最大。利用拉格朗日乘数法,作函数 令 及 （4） 由(1),(2)得由（2），（3）得并代入(4),从而得，， 2