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《函数的应用》测试题

一、选择题（每题5分，共30分）

1.函数\(y=2x1\)在区间\([0,2]\)上的最大值是（）

A.1B.0C.3D.5

答案：C

解析：对于一次函数\(y=2x1\)，因为\(k=20\)，所以函数在\(R\)上单调递增。那么在区间\([0,2]\)上，当\(x=2\)时，函数取得最大值，\(y_{max}=2\times21=3\)。

2.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x+2(x\leq1)\\x^{2}(1x2)\\2x(x\geq2)\end{cases}\)，若\(f(x)=3\)，则\(x\)的值是（）

A.1B.\(\sqrt{3}\)C.1或\(\sqrt{3}\)D.1或\(\frac{3}{2}\)

答案：B

解析：当\(x\leq1\)时，\(f(x)=x+2\)，令\(x+2=3\)，解得\(x=1\)，不满足\(x\leq1\)，舍去；当\(1x2\)时，\(f(x)=x^{2}\)，令\(x^{2}=3\)，解得\(x=\pm\sqrt{3}\)，因为\(1x2\)，所以\(x=\sqrt{3}\)；当\(x\geq2\)时，\(f(x)=2x\)，令\(2x=3\)，解得\(x=\frac{3}{2}\)，不满足\(x\geq2\)，舍去。综上，\(x\)的值是\(\sqrt{3}\)。

3.某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的\(m\)倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是（）

A.\(\sqrt[11]{m}\)B.\(\sqrt[12]{m}\)C.\(\sqrt[11]{m}1\)D.\(\sqrt[12]{m}1\)

答案：C

解析：设月平均增长率为\(x\)，一月份产量为\(a\)，则十二月份产量为\(a(1+x)^{11}\)。已知十二月份的产量是一月份产量的\(m\)倍，即\(a(1+x)^{11}=ma\)，\((1+x)^{11}=m\)，解得\(x=\sqrt[11]{m}1\)。

4.函数\(f(x)=x^{2}2x3\)的零点是（）

A.1，3B.3，1C.1，2D.不存在

答案：B

解析：令\(f(x)=x^{2}2x3=0\)，即\((x3)(x+1)=0\)，解得\(x=3\)或\(x=1\)，所以函数\(f(x)\)的零点是\(3\)和\(1\)。

5.若函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）

A.若\(f(a)f(b)0\)，不存在实数\(c\in(a,b)\)使得\(f(c)=0\)

B.若\(f(a)f(b)0\)，存在且只存在一个实数\(c\in(a,b)\)使得\(f(c)=0\)

C.若\(f(a)f(b)0\)，有可能存在实数\(c\in(a,b)\)使得\(f(c)=0\)

D.若\(f(a)f(b)0\)，有可能不存在实数\(c\in(a,b)\)使得\(f(c)=0\)

答案：C

解析：对于选项A，若\(f(a)f(b)0\)，有可能存在实数\(c\in(a,b)\)使得\(f(c)=0\)，比如函数\(f(x)=(x1)(x2)(x3)\)，\(f(0)f(4)0\)，但在区间\((0,4)\)内有\(x=1\)，\(x=2\)，\(x=3\)使得\(f(x)=0\)，所以A错误；对于选项B，若\(f(a)f(b)0\)，根据零点存在定理，在区间\((a,b)\)内至少存在一个实数\(c\)使得\(f(c)=0\)，但不一定只存在一个，所以B错误；对于选项C，由前面A选项的分析可知，若\(f(a)f(b)0\)，有可能存在实数\(c\in(a,b)\)使得\(f(c)=0\)，C正确；对于选项D，若\(f(a)f(b)0\)，根据零点存在定理，一定存在实数\(c\in(a,b)\)使得\(f(c)=0\)，所以D错误。

6.某商品价格前两年每年递增\(20\%\)，后两年每年递减\(20\%\)，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是（）

A.增加\(7.84\%\)B.减少\(7.84\%\)C.减少\(9.5\%\)D.不增不减

答案：B

解析：设该商品原来价格为\(a\)，则第一年价格为\(a(1+20\%)=1.2a\)，第二年价格为\(1.2a(1+20\%)=1.2^{2}