平面向量的概念其线性运算.doc

第四篇 平面向量 第1讲　平面向量的概念及其线性运算 基础巩固题组(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题 1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)． A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ 解析　由图可知＝－. 答案　B 2. (2014·汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)． A．0 B. C. D. 解析　因为ABCDEF是正六边形，故＋＋＝＋＋＝＋＝. 答案　D 3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“ab”的(　　)． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以ab.若ab，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 答案　A 4．(2014·)下列命题中，正确的是(　　)． A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 C．若ka＝0，则k＝0或a＝0 D．若a，b都是非零向量，则|a＋b|＞|a－b| 解析　对于A，显然不能得知a＝b或a＝－b，因此选项A不正确；对于B，易知不正确；对于C，易知正确；对于D，注意到(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b，显然a·b与零的大小关系不确定，因此选项D不正确．综上所述，选C. 答案　C 5．(2014·兰州质检)若点M是ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则ABM与ABC的面积比为(　　)． A. B. C. D. 解析　设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比为，选C. 答案　C 二、填空题 6．(2014·湖州月考)给出下列命题： 向量的长度与向量的长度相等； 向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量，一定是共线向量； 向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上． 其中不正确命题的序号是________． 解析　中，向量与为相反向量， 它们的长度相等，此命题正确． 中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，此命题错误． 由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，该命题正确． 由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该命题错误． 共线向量是方向相同或相反的向量，若与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，该命题错误． 答案　 7．在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)． 解析　由＝3，得4＝3 ＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案　－a＋b 8．(2014·)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________． 解析　＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线， 存在实数λ，使＝λ.即p＝－1. 答案　－1 三、解答题9．在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，. 解　＝(＋)＝a＋b； ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？ 解　设＝a，＝tb，＝(a＋b)， ＝－＝－a＋b，＝－＝tb－a. 要使A，B，C三点共线，只需＝λ. 即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa. 又a与b为不共线的非零向量， 有 ∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．能力提升题组 (建议用时：25分钟) 一、选择题 1．(2013·济南一模)已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足＝ ，则点P一定为三角形ABC的(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心) C．重心 D．AB边的中点 解析　设AB的中点为M，则＋＝，＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点． 答案　B 2．在ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若＝x ＋(1－x)，则实数x的取值范围是(　　)． A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(0,1) 解析　设＝λ (λ＞1)，则＝＋＝＋λ ＝(1－λ)＋λ ，又＝x ＋(1－x)，所以x ＋(1－x)＝(1－λ)＋λ .所以λ＝1－x＞ 1，