4﹒1平面向量的概念和线性运算.ppt

第四编 平面向量 §4.1 平面向量的概念及线性运算 基础知识 自主学习 要点梳理 1.向量的有关概念 （1）向量：既有 又有 的量称为向量， 向量的大小叫做向量的 （或 ）. （2）零向量： 的向量称为零向量，其 方向是 . （3）单位向量：长度等于 的向量.;;;;基础自测 1.下列等式正确的是 （填序号）. ①a+0=a； ②a+b=b+a ③AB+BA≠0；④AC=DC+AB+BD 解析 方法一 ∵AB与BA为相反向量， ∴AB+BA=0，故③错. 方法二 AB+BA=（OB-OA）+（OA-OB） =OB-OB-OA+OA=0，故③错.;;;;典型例题 深度剖析 【例1】下列命题正确的是 （写出正确的所有 序号）. ①若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线； ②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一 平行四边形的四个顶点； ③若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量； ④有相同起点的两个非零向量不平行。 熟练掌握向量的有关概念并进行判断.;;;;【例2】如图所示，若四边形ABCD是 一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分 别是DC、AB的中点，已知AB=a， AD=b，DC=c，试用a、b、c表示BC，MN， DN+CN. 结合图形性质，准确灵活运用三角形法则 和平行四边形法则是向量加减运算的关键. 解 BC=BA+AD+DC=-a+b+c， ∵MN=MD+DA+AN， ∴MD=- DC,DA=-AD,AN= AB, ∴MN= a-b- c. DN+CN=DM+MN+CM+MN=2MN=a-2b-c.;;【例3】（2009·湖南改编）如图，D、E、F分别 是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则AD+BE +CF= . 解析 AD+BE+CF = AB+ BC+ CA = （AB+BC+CA）=0.;;;【例4】（14分）设两个非零向量a与b不共线， （1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). 求证：A、B、D三点共线； （2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线. 解决点共线或向量共线问题，就要根据 两向量共线的条件a=λb(b≠0). 解题示范 （1）证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. ∴AB、BD共线， ［4分］ ;又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线. ［6分］ （2）解 ∵ka+b与a+kb共线， ∴存在实数λ，使ka+b=λ(a+kb), 即ka+b=λa+λkb. ∴（k-λ）a=（λk-1）b. ［10分］ ∵a、b是不共线的两个非零向量， ∴k-λ=λk-1=0，∴k2-1=0. ∴k=±1. ［14分］;;思想方法 感悟提高 高考动态展望 目前对平面向量知识的考查力度逐步加强，主要 是关于向量的基本概念及其相关的基本理论的考 查.本节知识点的考查多以客观题形式出现.;;定时检测 一、填空题 1.（2010·苏州模拟）如图所示，在平行四边形 ABCD中，下列结论中正确的是 . ①AB=DC ②AD+AB=AC ③AB-AD=BD ④AD+CB=0 解析 ①显然正确；由平行四边形法则知②正 确；AB-AD=DB，故③不正确；④中 AD+CB=AD+DA=0.;2.（2010·徐州模拟）设四边形ABCD中，有DC= AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形是 . 解析 由DC= AB知四边形ABCD是梯形，又 |AD|=|BC|，所以四边形ABCD是等腰梯形.;3