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平面向量的概念与线性运算
课程标准
1.了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示.
2.掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义.
3.掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.
4.了解向量的线性运算性质及其几何意义.
基础知识回顾
知识梳理
1. 向量的有关概念
(1)零向量:长度为0的向量叫零向量,其方向是不确定的.
(2)平行(共线)向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.我们规定零向量与任一向量平行.
(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.
(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
(5)相反向量:与向量a长度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量.
2. 向量的线性运算
(1)向量加法满足交换律a+b=b+a,结合律(a+b)+c=a+(b+c).
向量加法可以使用三角形法则,平行四边形法则.
(2)向量的数乘:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度和方向规定如下:
①|λa|=|λ||a|;
②当λ0时,λa与a方向相同;
当λ0时,λa与a方向相反;
当a=0时,λa=0;
当λ=0时,λa=0.
(3)实数与向量的运算律:设λ,μ∈R,a,b是向量,则有:
①λ(μa)=(λμ)a;
②(λ+μ)a=λa+μa;
③λ(a+b)=λa+λb.
3. 向量共线定理:
如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.
自主热身、归纳总结
1、在下列结论中,正确的是( )
A. 若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合
B. 模相等的两个平行向量是相等向量
C. 若a和b都是单位向量,则a=b
D. 两个相等向量的模相等
2、对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3、已知eq \o(MP,\s\up6(→))=4e1+2e2,eq \o(PQ,\s\up6(→))=2e1+te2,若M、P、Q三点共线,则t=( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. -1
4、(2019秋?如皋市期末)在梯形中,,,,分别是,的中点,与交于,设,,则下列结论正确的是
A. B. C. D.
5、在△ABC中,eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))-\o(AC,\s\up6(→)))),则∠BAC=_____.
6、已知P是△ABC所在平面内的一点,若eq \o(CB,\s\up7(―→))=λeq \o(PA,\s\up7(―→))+eq \o(PB,\s\up7(―→)),其中λ∈R,则点P一定在( )
A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上
C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上
例题选讲
考点一、平面向量的有关概念
例1、(2019年徐州开学初考试)给出下列四个命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则“eq \o(AB,\s\up6(→))=eq \o(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.①② C.③④ D.②④
变式1、设a0为单位向量,下列命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0,假命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
变式2、给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②λa=0(λ为实数),则λ必为零;
③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误的命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
变式3、(山东泰安一中2019届高三模拟)给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②λa=0(λ为实数),则λ必为零;
③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误的命题的个数为( )
A.0 B.1
变式4、下列命题中,正确的是( )
A. eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))=eq \b\lc\|
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