高考数学（人教B理）一轮复习讲义第六章数列第4节.doc

第4节数列求和

最新考纲1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.

知识梳理

1.求数列的前n项和的方法

(1)公式法

①等差数列的前n项和公式

Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.

②等比数列的前n项和公式

(ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；

(ⅱ)当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).

(2)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.

(3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.

(4)倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.

(5)错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.

(6)并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.

2.常见的裂项公式

(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).

(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).

(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).

[常用结论与微点提醒]

1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2).

2.12＋22＋…＋n2＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6).

3.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝eq\f(a1－an＋1,1－q).()

(2)当n≥2时，eq\f(1,n2－1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n＋1)).()

(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()

(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝eq\f(3n－1,2).()

解析(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解.

答案(1)√(2)√(3)×(4)√

2.(2017·东北三省四市二模)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝()

A.9 B.15 C.18 D.30

解析由题意知{an}是以2为公差的等差数列，又a1＝－5，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.

答案C

3.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()

A.2n＋n2－1 B.2n＋1＋n2－1

C.2n＋1＋n2－2 D.2n＋n－2

解析Sn＝eq\f(2（1－2n）,1－2)＋eq\f(n（1＋2n－1）,2)＝2n＋1－2＋n2.

答案C

4.(教材习题改编)数列{an}中，an＝eq\f(1,n（n＋1）)，若{an}的前n项和Sn＝eq\f(2018,2019)，则n等于________.

解析an＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，

Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)

＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).

令eq\f(n,n＋1)＝eq\f(2018,2019)，得n＝2018.

答案2018

5.(2018·河北“五个一”名校联盟质检)若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋f(1)(n∈N+)，则数列{an}的通项公式为________.

解析由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(