高考数学（人教B理）一轮复习讲义第六章数列第2节.doc

第2节等差数列及其前n项和

最新考纲1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.

知识梳理

1.等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数).

(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N+).

(2)等差数列的前n项和公式

Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d(其中n∈N+).

3.等差数列的有关性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.

(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N+)，则有am＋an＝ap＋aq.

(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

(4)数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

4.等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.

[常用结论与微点提醒]

1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

2.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.

3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+，都有2an＋1＝an＋an＋2.()

(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()

(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()

解析(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.

(4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.

答案(1)√(2)√(3)×(4)×

2.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于()

A.－1 B.0

C.1 D.6

解析由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.

答案B

3.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()

A.100 B.99

C.98 D.97

解析设等差数列{an}的公差为d，由已知，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a1＋36d＝27，,a1＋9d＝8，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝1，))所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.

答案C

4.在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为______.

解析由题意知d＜0且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a8＞0，,a9＜0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7＋7d＞0，,7＋8d＜0，))

解得－1＜d＜－eq\f(7,8).

答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,8)))

5.(教材习题改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.

解析由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.

答案180

考点一等差数列基本量的运算

【例1】(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N+有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为()

A.2 B.10 C.eq\f(5,2) D.eq\f(5,4)

(2)(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()

A.1 B.2 C.4 D.8

解析(