北师大版高中数学选修-《 二项式定理》教案.doc
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北师大版高中数学选修2-3《131 二项式定理》教案
一 、教学目标 1.知识与技能: (1) 能利用计数原理证明二项式定理; (2) 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 2. 过程与方法: 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,体会从特殊到一般的思维方式, 并 形成从特殊到一般的归纳,然后证明,最后再应用的思想意识。 3. 情感、态度与价值观: 通过本节课的学习,可以培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。 二、教学重点、难点 重点:二项式定理; 难点:二项式定理的应。 三、教具:白板 四、 课型:新课 五、教学过程 一) 新课提问引入课题 1、分类计数加法原理与分布乘法计数原理; 2、组合与组合数 3、今天是星期五,再过 7 天、15 天、810 天的那一天分别是星期几? 二)讲授新课 1、探究发现 二项式定理研究的是 (a ? b) n 的展开式,如: (a ? b)2 ? ? (a ? b)3 ? ? (a ? b) 4 ? ? (a ? b)100 ? ? 那么 (a ? b) n 的展开式是什么? 探究一: (a ? b)2 ? (a ? b)(a ? b)
? a?a ? a?b ? b?a ? b?b
? a2 ? 2ab ? b2
从上述过程可以看出 (a ? b)2 是 2 个 (a ? b)(a ? b) 相乘,根据多项式的乘法法则, 每个 (a ? b) 在相乘是由两种选择,选 a 或 b 选,而且每个 (a ? b) 中的 a 或 b 选定后,才 能得到 (a ? b)2 展开式的一项。根据分布乘法计数原理,在合并同类项前 (a ? b)2 展开 式共有 2 ? 2 ? 22 项,合并后共有 3 项,分别为 a 2 , ab, b2 。
对于 a 项,是由 2 个 (a ? b) 都不选 b 得到的,所以 a 出现的次数相当于 2 个
2 2
0 0 (a ? b) 从取 0 个 b 的组合数 C2 ,即 a 2 的系数为 C2
对于 ab 项,是由 1 个 (a ? b) 选 a ,1 个 (a ? b) 选 b 得到的,由于 a 选定后, b 的
1 选法也随之确定,所以 ab 出现的次数相当 于从 2 个 (a ? b) 中取 1 个 b 的组合数 C2 , 1 即 ab 的系数为 C2 ;
对于 b 项,是由 2 个 (a ? b) 都选 b 得到的,相当于从取 2 个 (a ? b) 取 2 个 b 的
2
2 2 组合数 C2 ,即的系数为 C2 。
0 2 1 2 2 所以 (a ? b)2 ? C2 a ? C2 ab ? C2 b
探究二:引导学生模仿上述过程推出 (a ? b)3 , (a ? b) 4 的展开式
0 2 1 2 2 归纳总 结: (a ? b)2 ? C2 a ? C2 ab ? C2 b
0 3 1 2 2 3 3 (a ? b)3 ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab2 ? C3 b
0 4 1 3 2 2 2 3 4 4 (a ? b)4 ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 ab3 ? C4 b
0 1 2 分析:? (a ? b) 2 展开整理后共有 3 项,分别为 a 2 , ab, b 2 ,系数为 C2 ; , C2 , C2
? (a ? b)3 展开整理后共有 4 项, (a ? b)3 展开整理后的项分别为 a3 , a 2b, ab2 , b3
0 1 2 3 系数为 C3 ; , C3 , C3 , C3
[来源:学|科|网]
? (a ? b) 4 展开整理后共有 5 项, (a ? b)4 展开整理后的项分别为 a 4 , a3b, a 2b2 , ab3 , b4
0 1 2 3 4 系数为 C4 。 , C4 , C4 , C4 , C4
问: (a ? b)5的呢, ?,(a ? b)n的呢? (学生回答)
0 n 1 n?1 k n?k k n n 猜想: (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N * )
证明: (a ? b) n 是 n 个 (a ? b) 相乘,每个 (a ? b) 在相乘时,有两种选择,选 a 或选 b,由分步计数原理可知展开式共有 2 n 项(包括同类项) ,其中每一项都是
a n?k bk (k ? 0,1,?n) 的形式,对于每一项 a n?k bk ,它是由 k k 个 (a ? b) 选了 b,n-k 个
k (a ? b) 选了 a 得到的,它出现的次数相当于从 n 个 (a ? b) 中取 k 个 b 的组合数 Cn ,将
它们合并同类项,就得二项展开式,这就是
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