北师大版高中数学选修-《 二项式定理》教案.doc

北师大版高中数学选修2-3《131 二项式定理》教案 一 、教学目标 1.知识与技能： (1) 能利用计数原理证明二项式定理； (2) 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 2. 过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,体会从特殊到一般的思维方式， 并 形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。 3. 情感、态度与价值观： 通过本节课的学习，可以培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。 二、教学重点、难点 重点：二项式定理； 难点：二项式定理的应。 三、教具：白板 四、 课型：新课 五、教学过程 一） 新课提问引入课题 1、分类计数加法原理与分布乘法计数原理； 2、组合与组合数 3、今天是星期五，再过 7 天、15 天、810 天的那一天分别是星期几？ 二）讲授新课 1、探究发现 二项式定理研究的是 (a ? b) n 的展开式，如： (a ? b)2 ? ? (a ? b)3 ? ? (a ? b) 4 ? ? (a ? b)100 ? ? 那么 (a ? b) n 的展开式是什么？ 探究一： (a ? b)2 ? (a ? b)(a ? b) ? a?a ? a?b ? b?a ? b?b ? a2 ? 2ab ? b2 从上述过程可以看出 (a ? b)2 是 2 个 (a ? b)(a ? b) 相乘，根据多项式的乘法法则， 每个 (a ? b) 在相乘是由两种选择，选 a 或 b 选，而且每个 (a ? b) 中的 a 或 b 选定后，才 能得到 (a ? b)2 展开式的一项。根据分布乘法计数原理，在合并同类项前 (a ? b)2 展开 式共有 2 ? 2 ? 22 项，合并后共有 3 项，分别为 a 2 , ab, b2 。 对于 a 项，是由 2 个 (a ? b) 都不选 b 得到的，所以 a 出现的次数相当于 2 个 2 2 0 0 (a ? b) 从取 0 个 b 的组合数 C2 ，即 a 2 的系数为 C2 对于 ab 项，是由 1 个 (a ? b) 选 a ，1 个 (a ? b) 选 b 得到的，由于 a 选定后， b 的 1 选法也随之确定，所以 ab 出现的次数相当 于从 2 个 (a ? b) 中取 1 个 b 的组合数 C2 ， 1 即 ab 的系数为 C2 ； 对于 b 项，是由 2 个 (a ? b) 都选 b 得到的，相当于从取 2 个 (a ? b) 取 2 个 b 的 2 2 2 组合数 C2 ，即的系数为 C2 。 0 2 1 2 2 所以 (a ? b)2 ? C2 a ? C2 ab ? C2 b 探究二：引导学生模仿上述过程推出 (a ? b)3 ， (a ? b) 4 的展开式 0 2 1 2 2 归纳总 结： (a ? b)2 ? C2 a ? C2 ab ? C2 b 0 3 1 2 2 3 3 (a ? b)3 ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab2 ? C3 b 0 4 1 3 2 2 2 3 4 4 (a ? b)4 ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 ab3 ? C4 b 0 1 2 分析：? (a ? b) 2 展开整理后共有 3 项，分别为 a 2 , ab, b 2 ，系数为 C2 ； , C2 , C2 ? (a ? b)3 展开整理后共有 4 项， (a ? b)3 展开整理后的项分别为 a3 , a 2b, ab2 , b3 0 1 2 3 系数为 C3 ； , C3 , C3 , C3 [来源:学|科|网] ? (a ? b) 4 展开整理后共有 5 项， (a ? b)4 展开整理后的项分别为 a 4 , a3b, a 2b2 , ab3 , b4 0 1 2 3 4 系数为 C4 。 , C4 , C4 , C4 , C4 问： (a ? b)5的呢， ?，（a ? b)n的呢？ (学生回答） 0 n 1 n?1 k n?k k n n 猜想： (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N * ) 证明： (a ? b) n 是 n 个 (a ? b) 相乘，每个 (a ? b) 在相乘时，有两种选择，选 a 或选 b，由分步计数原理可知展开式共有 2 n 项（包括同类项） ，其中每一项都是 a n?k bk (k ? 0,1,?n) 的形式，对于每一项 a n?k bk ，它是由 k k 个 (a ? b) 选了 b，n－k 个 k (a ? b) 选了 a 得到的，它出现的次数相当于从 n 个 (a ? b) 中取 k 个 b 的组合数 Cn ，将 它们合并同类项，就得二项展开式，这就是