第六章 塑性力学平面问题.ppt

塑性力学06 第六章 理想刚塑性体的平面应变问题 * 第六章 理想刚塑性体的平面应变问题 本章讨论理想刚塑性平面应变问题。对于平面应变问题就是忽略垂直于该平面的位移；而理想刚塑性就是忽略弹性变形，也不计硬化，这种材料的特性为，屈服前无变形的刚体状态，一旦屈服即进入塑性流动状态。有些工程问题可以简化为这类问题。 6-1 基本关系式 1. 应变状态和应力状态。我们这里讨论的问题是平面塑性应变状态，物体中的塑性流动都平行于给定的xy平面，即变形与z轴无关。 根据几何方程有 应力分量也只与x，y方向有关，故 由此得出，z方向为一主方向， 为一主应力。 平均应力为 进一步由增量理论的本构方程给出 那么z方向应变增量与相应应力偏量的关系为 由 得 这样得到平均应力 我们可以知道 那么另外两个主应力为 最大剪应力为 那么主应力可以写为 这就说明，在塑性区内任一点的应力状态可用静水压力 与 剪应力 两个分量来表示。这里采用体积不可压缩的假定，如果不考虑平均应力 ，则其应力状态相当于纯剪应力状态。 2. 滑移线。 刚才提及理想刚塑性平面应变问题在塑性区的应力状态是相当于纯剪应力状态，此时材料沿最大剪应力线滑移，所以最大剪应力线又称滑移线。因为剪应力是成对的，则过xoy平面内的每一点可以作两条这样的线，它们应该是正交的，所以在整个xoy平面内滑移线是两族正交曲线，分别称为 族和 族。 现在我们来分析一下一点的应力状态和主应力、最大剪应力之间的关系，从而来得到两族滑移线的微分方程。 下面的图可以看到在xy坐标平面、主平面和最大剪应力面的关系。最大主应力的方向与x轴成 角，顺时针转45度得到最大剪应力方向，即 族线，它与x轴的夹角为 ，以x轴逆时针转动到 族线为正。那么另外一个最大剪应力方向上最大主应力逆时针转动45度得到，即 族线。 我们有 因为 所以 关于滑移线的微分方程，见右图： 线： 线： 我们说滑移线以正交网络布满塑性区，称为滑移线场。 3. 基本方程。对于平面应变问题，不计体力的情况下，平衡方程为 对于理想刚塑性体，应力满足的屈服条件为 其中 对于给定应力边界条件，上面两个方程就可以确定应力状态，问题是静定的。 对于给定位移边界条件，上面两个方程不可以确定应力状态，问题不是静定的。 但是问题是不能事先确定刚性区和塑性区的分界线，问题还是相当复杂的，我们可以用滑移线场理论来解决。 6-2 滑移线场基本方程及滑移线的性质 用平均应力 和 来表示一点的应力状态如图所示 有图可得 (6-10) 把它带入平衡方程得到 这是一个关于 和 的双曲线型拟线性偏微分方程组。求这一方程组的觧，就是要在xy平面的某一区域内求具有一阶连续偏导数，并满足上面平衡方程的函数 和 。 （6-11） 现在来求解。若xy平面内，沿某曲线L给定了函数 和 ，则沿L的增量为 上面方程和(6-11)是以 作为未知量的代数方程。 这个代数方程的系数行列式为： 如果这个系数行列式不等于零，则按克莱姆法则可以解出在曲线L上的任一点的偏导数，然后求出其领域的 和 值。 如果这个系数行列式等于零，则不能求出在L上的这些偏导数值，此时越过L线，导数可能不连续，即已知L一则的导数，若无其它条件，就不能求出L线的另一则的导数。具有这种性质的曲线叫做特征线。 由系数行列式等于零得到 上式的两个根为 这就是特征线的微分方程，它们与前面得出的滑移线的微分方程是相同的。所以，特征线和滑移线相重合。数学上的特征线，其物理意义为滑移线。 进一步求解，得到Hencky方程。取与滑移线 重合的曲线坐标 系统 ，根据方向导数的公式 那么有 把它代入平衡方程（6-11），然后第一式乘以 加上第二式乘以 ；第一式乘以 减去第二式乘以 分别得到下面的第一和第二式。 因此，沿同一 线， 沿同一 线， 上面方程被称为亨基方程（Hencky’s equation）。也可以得到 由此可见，如已知滑移线中的每一点的参数