历届全国学生数学竞赛 预赛 参考解析 (非数类).pdf

首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案 （非数学类，2009） 一、 填空题 ⎛ y ⎞ (x +y ) ln 1+⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ （1）计算 ∫∫D dxdy =_____________ ，其中区域D 由直线x +y 1 1−x −y 与两坐标轴所围三角形区域. 2 （2 ） 设 f (x ) 是 连 续 函 数 ， 满 足 f (x ) 3x 2 − f (x )dx −2 ， 则 ∫0 f (x ) =___________________. 2 （3 ） 曲面 z x +y 2 −2 平行平面 2x +2y −z 0 的切平面方程是 2 ________________________. （4 ）设函数 y y (x ) 由方程 xe f (y ) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数， d 2 y 且 f ′≠1 ，则 2 =____________________. dx ′ 2 ′′ 16 2 10 [1−f (y )] −f (y ) 答案： ，3x − ， 2x +2y −z −5 0 ，− 2 ′ 3 . 15 3 x [1−f (y )] x 2x nx e e +e ++e 二、求极限 lim( )x ，其中 n 是给定的正整数. x →0 n x 2x nx e e +e ++e 解：原式 lim exp{ ln( )} x →0 x n e(ln(ex +e2x ++enx ) −ln n) exp{lim } x →0 x 0 其中大括号内的极限是 型未定式，由 L Hospital 法则，有′ 0 e(ln(ex +e2x ++enx ) −ln n) e(ex +2ex ++nenx ) lim lim