2017_2018学年高中数学第一章数列1.2等差数列1.2.1.2等差数列的性质及应用课件北师大版必修.ppt

-*- 第2课时　等差数列的性质及应用 1.体会等差数列与一次函数的关系,能够运用一次函数的性质解决等差数列问题. 2.掌握等差中项的定义,能够运用定义解决有关问题. 3.掌握等差数列性质的应用及实际应用. 1.等差中项 如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项. 等差中项的性质: (1)A是a与b的等差中项,则 (2)当2A=a+b时,A是a与b的等差中项. (3)如果三个数成等差数列,那么通常设这三个数为a-d,a,a+d,这样可以在解题过程中减少运算量. (4)如果数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+),那么数列{an}是等差数列. 答案:A 【做一做1-2】 已知m,n的等差中项为20,则m+n=　　　.? 解析:m+n=2×20=40. 答案:40 2.等差数列的性质 若数列{an}是公差为d的等差数列,则 (1)当d=0时,数列为常数列;当d0时,数列为递增数列;当d0时,数列为递减数列. (6)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…(n,i∈N+). (7)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (8)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列. (9)若数列{bn}也为等差数列,则{kan+mbn+b}(k,m,b为常数)也是等差数列. 【做一做2】 在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=　　　　　.? 解析:由等差数列的性质知 a2+a4+a6+a8=2(a3+a7) =2×37=74. 答案:74 题型一 题型二 题型三 题型一 等差中项的应用 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思证明三个数(式子)成等差数列,一般可根据定义或等差中项将问题转化为证明等式成立.根据等差数列各项乘(或除以)同一个常数(非零整数)或加(或减)同一个常数所得数列仍是等差数列,再结合问题条件亦可证明. 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这个数列. 解:∵-1,a,b,c,7成等差数列, ∴b是-1与7的等差中项,a是-1与b的等差中项,c是b与7的等差中项, 题型一 题型二 题型三 题型二 等差数列性质的应用 【例2】 (1)已知{an}是等差数列,且a1-a4+a8-a12+a15=2,求a3+a13的值; (2)在等差数列{an}中,若a49=80,a59=100,求a79. 分析本题(1)考查等差数列的性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”的应用;(2)考查性质“am=an+(m-n)·d”的应用. 解:(1)∵{an}是等差数列,∴a1+a15=a4+a12=a3+a13=2a8. ∵a1-a4+a8-a12+a15=2, ∴a8=2,∴a3+a13=2a8=2×2=4. (2)∵{an}是等差数列,∴可设公差为d. 由a59=a49+10d,知10d=100-80,解得d=2. ∵a79=a59+20d, ∴a79=100+20×2=140. 题型一 题型二 题型三 反思在等差数列中,若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak(m,n,p,q,k都是正整数),它是一条重要性质,利用该性质可简化运算. 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】 已知等差数列{an}, (1)若a2+a3+a25+a26=48,求a14; (2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d. 解:(1)∵a2+a26=a3+a25=2a14, ∴a2+a3+a25+a26=4a14=48, 解得a14=12. 题型一 题型二 题型三 (2)∵a2+a5=a3+a4, ∴a2+a3+a4+a5=2(a2+a5)=34. 即a2+a5=17. 又已知a2a5=52, 联立解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4. 题型一 题型二 题型三 题型三 实际应用问题 【例3】 梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有10级,各级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度. 分析:要求梯子中间各级的宽度,必须知道各级宽度组成的等差数列的公差.又梯子的级数是12,因此,问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差. 解:设梯子的第n(1≤n≤12)级的宽为an cm,其中最高一级宽为a1 cm,则数列{an}是等差数列. 由题意,得a1=33,a12=110,n=12,则a12=a1+11d, 所以110=33+11d,解得d=7. 所以