2017_2018学年高中数学第一章数列复习课2等比数列课件北师大版必修.ppt

-*- 等比数列复习课 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 1.等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项 如果a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项. 即:G是a与b的等比中项?a,G,b成等比数列?G2=ab. 【做一做1-1】 下列数列为等比数列的是(　　). A.0,0,0,0,… B.22,42,62,82,… C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,… 答案:D 【做一做1-2】 如果-4,a,b,c,-16成等比数列,那么 (　　). A.b=8,ac=64 B.b=-8,ac=64 C.b=8,ac=-64 D.b=-8,ac=-64 解析:∵b2=ac=(-4)×(-16)=64,且b与首项-4同号, ∴b=-8. 答案:B 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为 an=a1qn-1; 若等比数列{an}的第m项为am,公比为q,则其第n项an可以表示为an=amqn-m. (2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时, 【做一做2-1】 在等比数列{an}中,a2 017=8a2 014,则公比q的值为(　　). A.2 B.3 C.4 D.8 解析:∵a2 017=a2 014q3=8a2 014,∴q3=8. ∴q=2. 答案:A A.35 B.33 C.31 D.29 答案:C 3.等比数列及前n项和的性质 (1)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·al=am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍成等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍成等比数列,公比为qm. (3)当q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn. 【做一做3】 一个项数为偶数的等比数列,它的偶数项和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等比数列的项数为(　　). A.6 B.8 C.10 D.12 解析:设此数列共有2n项,公比为q. ∵偶数项和为奇数项和的2倍, 又an+an+1=24,a1=1, ∴1×2n-1+1×2n=24,解得n=4.∴2n=8. 答案:B 题型一 题型二 题型三 题型一 等比数列的判定 【例1】 数列{an}的前n项和为Sn,若an+Sn=n,cn=an-1.求证:数列{cn}是等比数列. 分析:由an+Sn=n得到an+1与an的关系,结合cn=an-1,利用定义证明. 题型一 题型二 题型三 反思在判断一个数列是否为等比数列时,应根据条件灵活选用方法(定义法、等比中项法、通项公式法).若一个数列中的项包含0,则它一定不是等比数列. 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N+).求证:数列{an+1}是等比数列. 证明:由已知Sn+1=2Sn+n+5(n∈N+)可得当n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4, 两式相减得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1, 从而an+1+1=2(an+1). 当n=1时,S2=2S1+1+5,即a2+a1=2a1+6. 又a1=5,所以a2=11. 从而a2+1=2(a1+1). 故an+1+1=2(an+1)对n∈N+恒成立. 所以数列{an+1}是等比数列. 题型一 题型二 题型三 题型二 等比数列性质的应用 【例2】 (1)在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9等于(　　). (2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于(　　). A.80 B.30 C.26 D.16 分析:(1)应用m+n=p+q时,可用am·an=ap·aq求解;(2)利用等比数列的性质:依次n项和成等比数列求解. 题型一 题型二 题型三 解析:(1)根据等比数列的性质,a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=a1a10, ∴a2a3a4a5a6a7a8a9=(a1a10)4=34=81,故选A. (2)由等比数列性质知 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…仍成等比数列. 设S2n=x,即2,x-2,14-x成等比数列, 由(x-2)2=2×(14-x),解