浅析坐标法求立体几何中的角..docx

浅析坐标法求立体几何中的“角” 浙江省宁波市郵州高级中学 刘翔（315194） 摘要： 本文在介绍坐标）去求解立体几何中异面直线所成的角和直线与平面所成的角的基础上， 重点介绍了在利用坐标法求解二面角的大小时所遇到的困难，通过引入卦限的走义，以及对 二面角的内部与外部加以界走，使难点得以突破。从而也使教育工作者在处理坐标法求解二 面角大小的过程中处理这方面的难点有所着落,并且此法具有很强的可操作性，易教易学。 关键字：卦限、二面角、二面角内部、坐标、法向呈 引子 学习了立体几何以后我们知道应用传统的立体几何方法解决立体几何问题会遇到很多 困难，例如：证明线而平行问题时想在已知平而内找到一条平行于已知直线的直线，或是找 到两个有用的平行平面等不容易（通常都需要作辅助线，而作辅助线的方法恰恰是很多学生 的软肋）；证明线而垂直时要在已知平面内找到两条与已知直线垂直的相交直线也不太容易。 类似这些诸如证明而而平行、而而垂直等问题都是我们学生学习立体几何的难点。对学生而 言更难的问题是立体几何中求角的问题，诸如异面直线所成的角，线而角等，尤英是求解有 关二而角的一些问题对学生而言更是难点。 学习了空间向量以后，我们似乎找到了可以轻松突破以上问题的有效方法，但事实却并 非如此,。笔者下而将就学生在利用空间向量坐标法求解立体几何问题时所遇到的困难及笔 者本人的一些见解和观点详述之，希望能够得到有关同仁的指正，以求更好地将这些问题梳 理淸楚，有利于今后的课堂教学。 先介绍几个“概念”： （-）卦限 我们在建立空间直角坐标系以后，实际上是在一个三维空间中放宜了三个两两垂直的平 而一一xoy平而，xoz平而以及yoz平而，此三个坐标平而把三维空间分成八个部分，我们 将每个部分叫做一个卦限。并且将含有尤轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第 一卦限，其他第二、三、四分别在xoy平面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、 四卦限下而的部分分别称为第五、六、七、八卦限（如图1）。可以通过已知点的坐标确泄 其所在的卦限或平而。例如点A(h-4.3)在第四卦限，5(-1,4,-3)在第六卦限，C(0,4,—3) 在yo乙平而直角坐标系下的第四象限等(如图2)。 (二)二面角的内部与外部 如图3所示，我们把图中二面角a — l —卩所夹的空间部分称为二而角a — l—卩的内部, 而其余的部分称为二面角a-/-0的外部。即一个二而角恰好将一个三维空间分成两个互 不相交的两部分。 二而角外部二谓角二而角外部二而角外部图2 二而角外部 二谓角 二而角外部 二而角外部 图2 正文 笔者在本文中主要解决的问题是：利用向量的坐标法解决立体几何中的有关角的问题。 在立体几何中我们学习的有关角的问题主要有三种：异而直线所成的角、线面所成的角、 二而角的平面角。详述如下： 一、异面直线所成的角 在人民教育岀版社岀版的《普通髙中课程标准实验教科书一一数学必修2》第二章空间 中直线与直线的位置关系一节中介绍了异而直线所成的角的概念。学生在学习这部分内容 时，通常的求解方法是将空间中两条异面直线通过平移的方法平移到同一个平而中，通过转 化的方法求解。但是在具体的题目中这种平移往往不易做到，大多数情况下要作辅助线、补 图等方法求解。学习了空间向量的坐标表示以后，可以仅仅通过向量的坐标运算就可以解决 空间中异而直线所成的角的问题，而不用作任何辅助线。具体操作如下： 设厶是空间中两条异面直线，厶与心的方向向量分别为0 = (4443)， /； = (%$,仇)，可以通过求解这两条异面直线的方向向量的夹角来确左异而直线/H 12所 成的角。 显然，利用直线的方向向虽:求空间中异面直线所成的角会遇到如图4、图5两种情况的 讨论。事实上可以利用空间中异而直线所成的角的范115] ( )将这两种情况“归一S 2 、在图4中异面直线厶与所成的角与向量N, b的夹角7/ 互补， 即：0 = 7r-a.b ? 、在图5中异面宜线厶与厶所成的角与向量二 乙的夹角相等， 所以不论哪种情况我们都有:cos= cos a.b _ °為+ a2b2 +如仇? b J： + 虽 + 所以不论哪种情况我们都有: cos= cos a.b _ °為+ a2b2 +如仇 ? b J： + 虽 + a； ?Jbj +b； +bj 处(0,fl 从而可以求出两条异而直线zt与/2所成的角o o ?小结：向量的坐标法求解异而直线所成的角时，克服了学生在利用立体几何知识将两条异 而直线平移到同一平面中所遇到的困难，事实上，我们只要将这两条异而直线“放”到空间 直角坐标系中（建立空间直角坐标系）就可以很容易 解决这类问题。当然，空间直角坐标系要是选择的好, 可以使运算更方便。 例1、如图6,已知四棱锥P-A