用坐标系解立体几何常见方法.docx
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建立空间直角坐标系，解立体几何高考题
立体几何重点、热点：
求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．
常用公式：
ABx2?y2?z21、求线段的长度：
AB
x2?y2?z2
?
?x ?x?2
?x ?x?2??y ?y?2??z ?z?2
2 1 2 1 2 1
2、求P点到平面?的距离：PN?
|n|
，（N为垂足，M为斜足，n为平面?的法向量）
|PM?n|
3、求直线l与平面?所成的角：|sin?|?
|
PM|?|n|
，(PM?l,M??,n为?的法向量)
4、求两异面直线AB与CD的夹角：cos??
|AB?CD|
|AB|?|CD|
5、求二面角的平面角?：|cos?|?
|n?n |
1 2
，（n，n
为二面角的两个面的法向量）
|n|?|n | 1 2
1 2
6、求二面角的平面角?：cos??
S
射影，（射影面积法）
S
7、求法向量：①找；②求：设a,b 为平面?内的任意两个向量，n?(x,y,1)为?的法向量，
??a?n?0
则由方程组? ，可求得法向量n．
??b?n?0
高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。
一﹑直接建系。
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建
系。
例1. (2002年全国高考题)如图，正方形ABCD﹑ABEF的边长都是1，而且平面
2ABCD﹑ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0?a? ）。
2
（1）求MN的长； （2）当a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小。
解：（1）以B为坐标原点，分别以BA﹑BE﹑BC为x﹑y﹑z轴建立如图所示的空
间直角坐标系B-xyz，由CM=BN=a，M(
a，0，1? a),N（ a， a，0）
22222 2 2 2
2
2
2
2
∴MN =(0，
( 2a?1)2?(
( 2a?1)2?(
2
2a)2
2
(a?
2
2)2?1
2
2
a， a?1)
22zCDM
2
2
z
C
D
M
P
B
y
E
N
A
F
x
=
(a?22)
(a?
2
2)2?1
2
（0?a? ）
所以，当a=
时， MN
22
2
= ，
2min 2
2
2即M﹑N分别移动到AC﹑BF的中点时，MN的长最小，最小值为 。
2
2
（3）取MN的中点P，连结AP﹑BP，因为AM=AN，BM=BN，所以AP⊥MN，BP⊥MN，∠APB即为二面角α的平面角。
，0， ),N（ ，MN的长最小时M(1 1 1 1，0）
，0， ),N（ ，
2 2 2 2
由中点坐标公式P(
由中点坐标公式P(
， ， ),又A（1，0，0），B（0，0，0）
2 4 4
1，-1
1，-1，-1)，PB
=(-1，-1，-1
2
4
4
2
4
4
PA?PB
)
416?163838?1? 1
4
16
?
16
3
8
3
8
∴ cos∠APB=
= =-
PA ?
PA ?PB
∴ 面MNA与面MNB所成二面角α的大小为π-arccos1
3
例2.(1991年全国高考题)如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E﹑F分别是
AB﹑AD的中点，GC⊥面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
由题意C（0，0，0），G（0，0，2），E（2，4，0），F（4，2，0），B（0，4，0）
∴GE=（2，4，-2），GF=（4，2，-2），BE=（2，0，0）
设平面EFG的法向量为n=（x，y，z），则n⊥GE，n⊥GF，
z
?
2x?4y?2z?0
G得 4x?2y?2z?0，
G
1 1
令z=1，得x= ，y= ，
3