向量法求空间角(高二数学,立体几何).doc

试卷第 =page 2 2页，总 =sectionpages 3 3页 试卷第 =page 1 1页，总 =sectionpages 3 3页 向量法求空间角 ABCDPQ1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，． A B C D P Q （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为． D D B A C O E P （1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小； （2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值； （3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由． 3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知平面,,△是正三角形,,且是的中点. （1）求证:平面; （2）求证:平面平面; （3）求平面与平面所成锐二面角的大小. 4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点． （1）求证:平面; （2）求平面和平面的夹角. 5．如图，在直三棱柱中，平面 侧面且. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若直线AC与平面所成的角为,求锐二面角的大小. 6．如图，四边形是正方形，平面，，，，， 分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的大小. 本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 = page 12 12页，总 = sectionpages 13 13页 答案第 = page 11 11页，总 = sectionpages 13 13页 参考答案 1．（1）详见解析；（2） 【解析】 试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设，则，，，，则可表示出，，，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由，，故，，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于平面，所以可取平面的一个法向量为；设平面的一个法向量为，则，，故即取，则，故，转化为两个法向量的夹角，设与的夹角为，则．即可求出平面与平面所成的锐二面角的大小. 试题解析：（1）由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 设，则，，，， 故，，， 因为，，故，， 即，， 又 所以，平面． （2）因为平面，所以可取平面的一个法向量 为， 点的坐标为，则，， 设平面的一个法向量为，则，， 故即取，则， 故． 设与的夹角为，则． 所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为 考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系 2．（1）; （2）; （3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置. 【解析】 试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝，设AB＝a，则AO＝a，PO＝a，MO=, tan∠PMO＝,∠PMO＝60°; （2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD ，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故为直角三角形，OE＝PD＝＝a ∴tan∠AEO＝＝；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG//FE,EF⊥平面PBC, F是AD的4等分点，靠近A点的位置. M M D B A C O E P 试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角 （2分） ∵PO⊥面ABCD， ∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角． ∴tan∠PAO＝ 设AB＝a，AO＝a， ∴ PO＝AO·tan∠POA＝a， tan∠PMO＝＝． ∴∠PMO＝60°． （4分） M M D B A C O E P （2）连接AE，OE， ∵OE∥PD， ∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角． （6分） ∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD． 又OE平面PBD， ∴ AO⊥OE． ∵OE＝PD＝＝a， ∴tan∠AEO＝＝． （8分） （3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG． M M D