重难点14 几何压轴突破二 圆压轴（10种题型汇总+专题训练）（解析版）.pdf

第六章圆

重难点14几何压轴突破二圆压轴

（10种题型汇总+专题训练）

【题型汇总】

题型01圆的有关证明与计算

퐴퐵⊙푂△퐴퐵퐶⊙푂△퐴퐵퐶퐶퐼

1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接

퐵퐶퐴퐷퐵퐷퐵퐸퐶퐸

并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．

∠퐴퐵퐶=25°∠퐶퐸퐵

(1)若，求的度数；

퐷퐼

(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；

13

퐶퐼=2퐷퐼=△퐴퐵퐶

(3)若，，求的周长．

22

2

【答案】(1)115°

(2)퐷퐼=퐴퐷=퐵퐷，证明见解析

(3)30

【分析】（1）利用圆周角定理得到∠퐴퐶퐵=90°，再根据三角形的内角和定理求∠퐶퐴퐵=65°，然后利用圆内

接四边形的对角互补求解即可；

퐴퐼∠퐶퐴퐼=∠퐵퐴퐼∠퐴퐶퐼=∠퐵퐶퐼

（2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到

∠퐷퐴퐵=∠퐷퐶퐵=∠퐴퐶퐼퐴퐷=퐵퐷∠퐷퐴퐼=∠퐷퐼퐴

，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结

论；

퐼푄⊥퐴퐵퐼퐹⊥퐴퐶퐼푃⊥퐵퐶

（3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得

퐴푄=퐴퐹퐶퐹=퐶푃퐵푄=퐵푃퐶퐹=2=퐶푃퐴퐵=13

到，，，利用解直角三角形求得，，进而可求解．

퐴퐵⊙푂

【详解】（1）解：∵是的直径，

∴∠퐴퐷퐵=∠퐴퐶퐵=90°，又∠퐴퐵퐶=25°，

∴∠퐶퐴퐵=90°―25°=65°，

퐴퐵퐸퐶⊙푂

∵四边形是内接四边形，

∴∠퐶퐸퐵+∠퐶퐴퐵=180°，

∴∠퐶퐸퐵=180°―∠퐶퐴퐵=115°；

（2）解：퐷퐼=퐴퐷=퐵퐷，

퐴퐼

证明：连接，

△퐴퐵퐶

∵点I为的内心，

1

∴∠퐶퐴퐼=∠퐵퐴퐼，∠퐴퐶퐼=∠퐵퐶퐼=∠퐴퐶퐵=45°，

2

∴퐴퐷=퐵퐷，

∠퐷퐴퐵=∠퐷퐶퐵=∠퐴퐶퐼퐴퐷=퐵퐷

∴，，

∵∠퐷퐴퐼=∠퐷퐴퐵+∠퐵퐴퐼，∠퐷퐼퐴=∠퐴퐶퐼+∠퐶퐴퐼，

∴∠퐷퐴퐼=∠퐷퐼퐴，

∴퐷퐼=퐴퐷=퐵퐷；

퐼푄⊥퐴퐵퐼퐹⊥퐴퐶퐼푃⊥퐵퐶

（3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，

△퐴퐵퐶△퐴퐵퐶

∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心．

△퐴퐵퐶

∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点，

퐴푄=퐴퐹퐶퐹=퐶푃퐵푄=퐵푃

∴，，，

∵퐶퐼=22，∠퐼퐹퐶=90°，∠퐴퐶퐼=45°，

∴퐶퐹=퐶퐼⋅cos45°=2=퐶푃，