第六章 不动点定理.pdf

Ch6 压缩算子的不动点定理及其应用 I. 压缩算子的不动点定理  压缩算子: 设 X 为距离空间，算子 T : X  X ，若存在数 ，0 1 ，对于任意的 x , y X ，恒有 (Tx, Ty ) (x, y ) （6.4 ） 则称T 是X 上的一个压缩算子。 性质：压缩算子是连续算子. 证：当x x 时，(Tx , Tx) ( x , x) 0 Tx Tx n n n n * * * *  不动点: 设 X 为距离空间，T : X X ，若存在x X ，使x Tx ，则称x 为算子T 的 不动点。 算子不动点的例子： T T 1．设 为平面上的平移变换； 2 ．设 为平面上的旋转变换； 3 ．在实数空间中的算子T : x x2 ； 4 ．在二维实数空间中，T : (x, y) (x,0) ；  Banach 不动点定理 设(1) X T : X  X T X 是完备的距离空间;(2) ;且(3)T为压缩算子，则 在 中存在唯一的不 * * 动点，即有唯一的x* X ，使x Tx 证明： 先证不动点的存在性。 任取x0 X ，令 x Tx 1 0 x Tx T 2 x 2 1 0  x Tx  T n1x n1 n 0  x 得到点列 ,下证该点列收敛。 n T 由算子 的压缩性可得： 2 n (x  ,x ) (x ,x  ) (x  ,x  ) (Tx ,x ) n 1 n n n 1 n 1 n 2 0 0 (x ,x ) (x ,x ) (x ,x ) (x ,x ) np n np np1 np1 np2 n1 n n p np1 np2 n  (1 )  Tx x Tx x (    )( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) 1 (*) 由于0  1 ，对任意的正整数p , 令n ,则有 (x , x ) 0 ， np n x 即 是 Cauchy 列，又 X 完备，因此