第六章 位移计算5-互等定理.ppt

方法一 第 I 状态 先加广义力P1，后加广义力P2。 §6.8 线弹性结构的互等定理 1. 功的互等定理 2 在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功。 功的互等定理 第 Ⅱ 状态 先加广义力P2，后加广义力P1。 因为线弹性体系做功与加荷的次序无关，故： 方法二 由虚功原理 2 第 II 状态 第 I 状态 由功的互等定理 可推出位移互等定理 2. 位移互等定理 令功的互等定理中的力F1=F2=1 ,则有 位移互等定理：由单位荷载F1 引起的与荷载F2相应的位移 δ21，在数值上等于由单位荷载F2引起的与荷载F1相应的位移δ12。 在一般情况下位移互等定理可写成： (这里用小写的字母δ表示单位力引起的位移。) 注意：位移互等定理适用于广义力及其对应的广义位移。 ?上图表示了两个状态的线位移δ12 与δ21互等。 上图表示了线位移δ12数值上等于角位移θ21。 3. 反力互等定理 第Ⅰ状态，支座1产生单位位移 Δ1V=1而引起支座反力k11 和 k21 。 第Ⅱ状态，支座2产生单位位移Δ2V=1而引起支座反力k12 和 k22 由功的互等定理，第Ⅰ状态的外力在第Ⅱ状态的位移上做虚功 ，等于第Ⅱ状态的外力在第Ⅰ状态的位移上做虚功 。故有 即 一般情况下可写成 反力互等定理：支座i由于支座j发生单位位移所引起的支座反力kij，等于支座j由于支座i发生单位位移而引起的支座反力kji。 注意：反力互等定理也适用于其他广义力的互等。 例 k12 是反力矩， k21是反力，两者互等只是数值上互等。 4. 反力位移互等定理 单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。-----反力位移互等定理 l P l P l MP 1 1 1 1 对称弯矩图 反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与其 反对称弯矩图图乘,结果为零. 1 1 图示结构 EI 为常数，求AB 两点(1)相对竖向位移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 P P 1 1 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如： 小结 本章讨论了虚功原理以及应用虚功原理来求解结构的位移。虚功原理又分为虚位移原理和虚力原理，它们都是虚功原理的具体应用； 前者用于求内力和反力，后者用于求位移； 在应用虚功原理时要涉及两个量：力系和位移。这两者是彼此无关的，但却需满足一定的条件。力系必须是平衡的；位移必须是符合约束条件的、无限小的连续位移。 由于力与位移两者彼此无关，因此可以虚设一组力系(虚力原理)，让它在实际的结构位移上做功, 列出虚功方程，从中求出未知位移。 这就是虚力原理表达的虚功方程。也就是位移计算的一般公式最基本的形式。 在位移计算中，位移和变形是结构在给定条件下所具有的，是实际的位移状态。而力系则是虚设的。 虚拟力系的设置应当根据所求位移来相应的设置，并根据需要求出其相应的反力和内力。 虚功原理本身适用于任何变形体，但在本章推导位移计算公式时引入了弹性规律，故下面的位移计算的一般式只适用于线弹性体系。 若计算支座移动引起的位移，则因静定结构因支座位移不会引起结构变形，只会引起结构的刚体位移。 图乘法是具体的运算方法。只有满足一定的条件下才能用图乘法。象曲杆、变截面杆等均不能用图乘法。 在应用图乘法时一般要运用“先分段，再分块”的方法。 互等定理是线弹性体系的基本定理。本章介绍的四个互等定理是最常用的。这四个互等定理中，功的互等定理是最基本的，其余三个都可视为它的推论。 * * * * * * * * * * * *