《初等数论试卷》.doc

09——10 第二学期期末试卷（初等数论） 班级：07数本（2）班 姓名： 学号：120070901220 一、解方程4x2－40 [x]+51=0 （12%） 二、计算 1、解同余式8x≡9（mod11） （12%） 2、讨论并解答： （12%） 三、ax0+by0是行如ax+by（x，yz，a，bz+）的数中最小的正整数， 那么（a，b）= ax0+by0 （12%） 四、设…，则… （12%） 五、若2p－1是素数则p是素数。 （13%） 六、任给五个整数，证明必能从中选出三个使它们的和能被3整除。 （13%） 七、证明不定方程x2+y2=z4，x0，y0，z0，的一切正整数解可以写成公式： x=4ab(a2－b2)，y=a4+b4－6a2b2，z=a2+b2， ab0，(a，b)=1，a，b一奇一偶。 （14%） 答案： 一、解：由已知，4x2－40 x+510………………………………2% ………………………………………2% 因此，…………（1）　　……………2% 从而，…………（2）　　……………2% 把=1，2，…，8代入（2）检验知=2，6，7，8………2% 代入（1）得到 易检验都是原方程的解。………2% 二、1、解：∵（8，11）=1 ∴同余式只有一个解……………………………………4% 法1：∵11是素数， …………………………………………………………4% …………………………………………4% 法2：……………………………6% …………………………………………6% 法3：（求解不定方程8x－11y=9） 2、解：∵（15，35）=5且……………………………1% （15，21）=3且………………………………1% （21，35）=7且………………………………1% ∴原同余式组等价于 …………………………………2% ………………………………………2% ， ，，…………………2% 由得=2 同理，=1，=1…………………………………………………2% ∴ ………………………………1% 三、解：令d= ax0+by0 ax+by有ax+by=dq+r，0rd…………………………………3% 则r=ax+by－dq=a(x－x0q)+(y－y0q) r具有ax+by形状的非负整数,d是ax+by中最小的正整数 ∴r=0即ax0+by0ax+by……………………………………………3% 不妨设a0，b0则 当x=1,y=0时,da………………………………………………………………1% 当X=0,y=1时, db……………………………………………………………1% ∴d= ax0+by0（a，b）……………………………………………1% ∴（a，b） ax0+by0………………………………………………2% ∴（a，b）=ax0+by0…………………………………………………1% 四、证明：i）由（，）=1，知 ……………………………………………3% 　　　　　　ii）今证. 由的定义知, 等于从减去1,2…,中与不互质的数的个数. 亦即等于从中减去1,2…,中与p不互质的数的个数. ∵p是质数. ∴等于从中减去1,2…,中被p整除的数的个数. 由整数函数的性质知. 1,2…中被p整除的数的个数是. ∴.………………………………………………………………6% iii)由i).ii)得… =a….…………………………3% 五、证明:假设p不是素数,则p=kl(1kp)……………………………………………2 ……………………………………………4% 有因数.而1………………………………………4% 不是素数与已知矛盾.……………………………………………2% ∴p是素数.……………………………………………………………………2% 六、证明:所有整数可分为3n,3n+1,3n+2三类,则……………………………………2% ①所取的五个整数中.若同类的个数≥3.…………………………………3% ………………………3% ②所取的五个数中同类的有2个,必然有一类可取1个.…………………3% 把各类各取1个: .…………2% 七、证明：设（x，y，z）为x2+y2=z2 （1）的任意解则（x，y）=1 为的解 X，y 一奇一偶不妨设， 则 （3） 其中，一奇一偶……………