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作业小结 第一章 整数的可除性 第1 次作业：P4 题2 、3 ；P9 题2 主要问题： 1、P4 题2 ：个别同学犯了逻辑错误，注意本章讨论的是整数的可除性，个别同 2 3 2 1 学还是停留在实数范围内考虑。如 因为n(n +1)(2n +1) 3( n =+n + n) ，所 3 3 2 3 2 1 以得证。这是不对的，因为 n n +n + n 对所有可能的取值 并非都为整数。 3 3 2 、P4 题3 ：利用带余除法易证。 3、P9 题2 ： (1) 要证(a,b) ax +by ，只需证(a,b) | ax +by 且ax +by | (a,b) 同时成立。 0 0 0 0 0 0 其中(a,b) | ax +by 显然，要证ax +by | (a,b) 借助 P4 题 3，易得ax +by | a 且 0 0 0 0 0 0 ax0 +by0 | b ，再由推论4.1 即得。 n (2) 推广到 个整数的情况，利用归纳法易证。 第2 次作业：补充： 1) 证明：任意奇数的平方减1 是8 的倍数。 2) 证明：如果2a +3b ，9a +5b 中有一个能被17 整除，那么另外一个也能被17 整除。 3) 求下列最大公因数 或 最小公倍数：(120,504,882) ，[135,513,3114] 。 b 4) 设 均为正整数，证明：在数列 中， 的倍数的个数等于 。 a,b a, 2a, ,ba (a,b) 主要问题： 1、题1)中，对于奇数不妨设n 2k +1，则 2 2 2 n −1 (2k =+1) −1 4(k +k ) 4k (k =+1) ， 由于k , k +1为连续两个整数，则必有2 | k (k +1) 。剩下易证。 有部分同学没 2 2 2 有把问题解释清楚，只写到n −1 (2k =+1) −1 4(k =+k ) ，即说得证。 2 、题2 ），有好几位同学犯了上一次作业第1 题中的逻辑错误，没有注意到本章 讨论的是整数的可除性，而不是在实数意义下的可除性。因此，在解答过程 中应注意推导过程的合理性、正确性，应该是一个等价变换的过程，而不能 张冠李戴。 d 2a +3b 17d 比如，还有同学：因为17 | 2a +3b ，则存在 使得 ，由 2a +3b 8d =+9d ，则2a 8d ,3b 9d ？ 此题，