初等数论_.pdf
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作业小结
第一章 整数的可除性
第1 次作业:P4 题2 、3 ;P9 题2
主要问题:
1、P4 题2 :个别同学犯了逻辑错误,注意本章讨论的是整数的可除性,个别同
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学还是停留在实数范围内考虑。如 因为n(n +1)(2n +1) 3( n =+n + n) ,所
3 3
2 3 2 1
以得证。这是不对的,因为 n
n +n + n 对所有可能的取值 并非都为整数。
3 3
2 、P4 题3 :利用带余除法易证。
3、P9 题2 :
(1) 要证(a,b) ax +by ,只需证(a,b) | ax +by 且ax +by | (a,b) 同时成立。
0 0 0 0 0 0
其中(a,b) | ax +by 显然,要证ax +by | (a,b) 借助 P4 题 3,易得ax +by | a 且
0 0 0 0 0 0
ax0 +by0 | b ,再由推论4.1 即得。
n
(2) 推广到 个整数的情况,利用归纳法易证。
第2 次作业:补充:
1) 证明:任意奇数的平方减1 是8 的倍数。
2) 证明:如果2a +3b ,9a +5b 中有一个能被17 整除,那么另外一个也能被17
整除。
3) 求下列最大公因数 或 最小公倍数:(120,504,882) ,[135,513,3114] 。
b
4) 设 均为正整数,证明:在数列 中, 的倍数的个数等于 。
a,b a, 2a, ,ba (a,b)
主要问题:
1、题1)中,对于奇数不妨设n 2k +1,则
2 2 2
n −1 (2k =+1) −1 4(k +k ) 4k (k =+1) ,
由于k , k +1为连续两个整数,则必有2 | k (k +1) 。剩下易证。 有部分同学没
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有把问题解释清楚,只写到n −1 (2k =+1) −1 4(k =+k ) ,即说得证。
2 、题2 ),有好几位同学犯了上一次作业第1 题中的逻辑错误,没有注意到本章
讨论的是整数的可除性,而不是在实数意义下的可除性。因此,在解答过程
中应注意推导过程的合理性、正确性,应该是一个等价变换的过程,而不能
张冠李戴。
d 2a +3b 17d
比如,还有同学:因为17 | 2a +3b ,则存在 使得 ,由
2a +3b 8d =+9d ,则2a 8d ,3b 9d ?
此题,
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