第一节二与次型及其标准型和合同矩阵 .ppt

第七章 n元实二次型 n元实二次型的定义及其标准型 将n元实二次型化为标准型 正定二次型 用正交变换化二次型为标准型 一、二次型及其标准形的概念 称为二次型. 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形． 例如 都为二次型； 为二次型的标准形. 1．用和号表示二次型 二、二次型的表示法 2．用矩阵表示 由此可见, 按照上述规则 任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型。 称对称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，也把 f 称为 对称矩阵 A 的二次型。 即二次型与对称矩阵之间是一一对应关系 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。 例1 写出下列二次型的矩阵表达式 解 按 的要求不改变完全平方项，把 交叉乘积项的系数取半得： 注意 仅当A 满足 时,为二次型的矩阵表示式 二次型 的矩阵为： 以 为矩阵的二次型为 定义 合同矩阵有一下性质： （1）自反性（2）对称性(3) 传递性 三、矩阵的合同 证明 即 为对称矩阵. 定义 等价的二次型,它们的矩阵之间是合同的; 反之,以合同的矩阵为矩阵的二次型是等价的.