线代§次型及其标准形.ppt

§5 二次型及其标准形 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、合同矩阵 四、化二次型为标准形 五、小结 思考题 思考题解答 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、合同矩阵 四、化二次型为标准形 称为二次型. 例如 都为二次型 . 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 为二次型的标准形. 称为二次型的规范形 ． 例如 为二次型的规范形. 1．用和号表示 对二次型 2．用矩阵表示 　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 二次型的矩阵及秩 解 例2 　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解 step1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例3 从而得特征值 step2．求特征向量 step3．将特征向量正交化 得正交向量组 step4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P 于是所求正交变换为 说明 实二次型的化简问题，在理论和实际中经常 遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一 对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题， 请同学们注意这种研究问题的思想方法． 2.　实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法—拉格朗日配方法． 化为标准型，并指出 表示何种二次 曲面. 求一正交变换，将二次型