化2次型为标准型的方法.doc

化二次型为标准型的方法 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 . （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度，作转轴（反时针方向转轴） （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P是一数域，一个系数在数域P上的的二次齐次多项式 称为数域P上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设；是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 （4） 称为由到的一个线性替换，。如果，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另，ij. 由于，所以 = 它的系数排成一个n*n矩阵 它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。 令 于是二次型可写成= 非退化线性替换可以表示成X=CY 三、化二次型为标准形的方法之一：配方法 定理：数域P上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。 证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。 我们对变量的个数做数学归纳法。 对于n=1，而二次型就是已经是平方和的形式了。现假定对n-1元二次型，定理的结论成立。再假设（=） 分三种情况来讨论： 1）（i=1，2，…，n）中是少有一个不为零，例如0。这时 =+++ =+2+ =-+ =+， 这里 =-+ 是一个的二次型。令 即 这是一个非退化线性替换，它使=+。 有归纳法假定，对有非退化线性替换 能使它变成平方和。 于是非退化的线性替换 就使变成=由归纳法，即证。 2）所有都等于0，但至少一（j1），不是一般性，设。令 它是非退化线性替换，且使= == 这时上式右端是的二次型，且的系数不为0，属于第一种情况，定理成立。 3）由于对称性，有 这时是n-1元二次型。根据归纳假设，它能用非退化线性替换变成平方和。 这样就完成了定理得证明。 说明：虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。配方法需要通过观察来配方，对初学者来讲，具有一定的盲目性。 四、化二次型为标准形方法之二：合同变换法（初等变换法） 由上述配方法即得： 定理 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵。 即对于任意一个对称矩阵A，都可以找到一个可逆矩阵C使成对角形。 即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。 典型例题：用合同变换法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。 解：的矩阵为A= 以下为合同变换过程： 因此D=，C= 令X=CY，得= 化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型） 利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论： 对于任意一个n级是对称矩阵A，都存在一个n级是正交矩阵T，使 成对角形。 定理 任意一个实二次型 （=） 都可经过正交的线性替换变成平方和= 其中平方项系数就使矩阵A的特征多形式全部的根。 因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。正交变换更具实用性。如： 典型例题：作直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲面？ 解：此方程左端的二项式部分为： = 下把它正交替换成标准型： 它的矩阵A===（）（）（）,A的全部特征值是2，5，-1.对于特征值2，求出（2E-A）X=0的一个基础解系：,把单位化，得;对于特征值5，求出（5E-A）X=0的一个基础解系：,把单位化，得;对于特征值-1，求出（-E-A）X=0的一个基础解系：,把单位化，得 令T=，则T是正交矩阵，且 令，则= 所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为：=1 由此看出，这是单叶双曲面。 六、化二次型为标准形方法之四：雅可比方法 （一）相关定义 双线性函数定义 V是数域P上一个线性空间，f(α,β)是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α、β，根据f都唯一地对应于P中一个数f