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高中数学三角函数专题专项练习(非常好)

三角函数疑难点解析】

一、忽略隐含条件

例3：若sinx+cosx-10，求x的取值范围。

正解：2sin(x+π/4)1，由sin(x+π/4)1/√2得

2kπ+π/4x+π/42kπ+3π/4(k∈Z)∴2kπ+π/4x2kπ+5π/4(k∈Z)，

即x∈(2kπ+π/4,2kπ+5π/4)(k∈Z)。

改写后：对于不等式sinx+cosx-10，可以化简为

2sin(x+π/4)1.由于sin(x+π/4)1/√2，所以可以得到

2kπ+π/4x+π/42kπ+3π/4(k∈Z)。进一步化简得到

x∈(2kπ+π/4,2kπ+5π/4)(k∈Z)。

二、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性

例4：设α、β为锐角，且α+β=120°，讨论函数

y=cos2α+cos2β的最值。

正解：y=1+(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-cos(α-β)，

可见，当cos(α-β)=1时，ymin=0；当cos(α-β)=-1时，ymax=2.

分析：由已知得30°α,β90°，∴-60°α-β60°，则-1cos(α-

β)≤1，∴当cos(α-β)=1，即α=β=60°时，ymin=0，最大值不存

在。

改写后：已知α、β为锐角，且α+β=120°，求函数

y=cos2α+cos2β的最值。根据cos2θ=1-2sin2θ和

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，可以得到

y=1+(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-cos(α-β)。当cos(α-

β)=1时，即α=β=60°时，ymin=0，最大值不存在。因此，需

要注意角度范围，不能盲目套用正弦、余弦的有界性。

三、忽视应用均值不等式的条件

例5：求函数y=(a2b2π)/(2a2b2+4abcosx+1)的最小值。

正解：y=a2+b2+(atanx+bcotx)2-

2ab(atanx+bcotx)+1≥2√(a2b2)，当且仅当atanx=b/a时，等号成

立，即ymin=2√(a2b2)/(a2+b2)。

改写后：对于函数y=(a2b2π)/(2a2b2+4abcosx+1)，可以应

用均值不等式得到y=a2+b2+(atanx+bcotx)2-

2ab(atanx+bcotx)+1≥2√(a2b2)。当且仅当atanx=b/a时，等号成

立，即ymin=2√(a2b2)/(a2+b2)。需要注意应用均值不等式的条

件，不能忽视。

经典题例】

已知函数f(x)=x/(x2+1)，对任意α、β∈R有：f(sinα)≥1/2，

且f(2+cosβ)≤1/2，（1）求f(1)的值；（2）证明：c≥3；（3）

设f(sinα)的最大值为10，求f(x)。

1)解：令α=π/2，得f(1)≥1/2；令β=π，得f(1)≤1/2.因此，

f(1)=1/2.

改写后：已知函数f(x)=x/(x2+1)，对于任意α、β∈R，有

f(sinα)≥1/2和f(2+cosβ)≤1/2.将α=π/2和β=π代入得到f(1)≥1/2

和f(1)≤1/2，因此f(1)=1/2.

2)证明：由已知，当-1≤x≤1时，f(x)≥1/2，因此f(x)/(1-

f(x))≥1.又因为f(x)=x/(x2+1)，所以f(x)/(1-f(x))=x2/(1+x2)-1，

即x2/(1+x2)≥1/2.化简得到x≤√3，即c≥3.

改写后：根据已知条件f(x)≥1/2(-1≤x≤1)，可以得到

f(x)/(1-f(x))≥1.由于f(x)=x/(x2+1)，所以f(x)/(1-f(x))=x2/(1+x2)-

1，即x2/(1+x2)≥1/2.进一步化简得到x≤√3，即c≥3.

3)解：由于f(sinα)≤1，所以-1≤sinα≤1，即-π/2≤α≤π/2.又因

为f(2+cosβ)≤1/2，所以-3≤cosβ≤0，即2π/3≤β≤π。因此，最大

值为f(sin(π/2))=1.