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高中数学三角函数综合练习及答案 基础题 1. 设 ? θ ? ，试求： (1)cosθ的范围为　　　。（4 分） (2)函数y＝cos2θ－2cosθ＋2之最大值M为　　　与最小值m为　　　。（4 分） 解 (1)0 ? cosθ ? (2)y＝cos2θ－2cosθ＋2＝2＝（2 cos2θ－1）－2 cosθ＋2＝2 cos2θ－2cosθ＋1 ＝2＋ 又0 ? cosθ ? ∴当cosθ＝0时，M＝2＋＝1 　当cosθ＝时，m＝ 2. (1)一扇形周长6，当此扇形面积最大时，圆心角θ＝　　　，r＝　　　，面积为　　　。（6 分） (2)一扇形面积为16，则此扇形之最小周长为　　　；此时圆心角为　　　。（4 分） 解 (1)∵2r＋rθ＝6，而 ? ? ? ? 9 ? 2r2θ ?r2θ ? ∴最大面积为，此时2r＝rθ＝3 ? θ＝2，r＝ (2)∵r2θ＝16，而周长＝2r＋rθ ? 2＝2＝16 ∴最小周长为16，此时2r＝rθ ? θ＝2 3. 如下图，＝1，且为直径，P为圆上任一点，求4＋3之最大值为　　　。 （8 分） 解 令∠BAP＝θ，且0 ? θ ? ，则＝1 × cosθ，＝1 × sinθ 故4＋3＝4cosθ＋3sinθ ＝5 ＝5（sinαcosθ＋cosαsinθ） ＝5sin（θ＋α）? 5，其中 cosα＝，sinα＝ ∴4＋3之最大值为5 4. 试求－＝　　　。（8 分） 解 －＝＝ ＝4 × ＝－4 5. 下列何者正确？（8 分） (A)（cos20°－isin20°）（sin10°＋icos10°）＝＋i (B)＝－i (C)＝＋i (D)（cos12°＋isin12°）10＝－＋i (E)＝1。 解 (A)○：原式化为（cos（－20°）＋isin（－20°））（cos80°＋isin80°） 　　　　　＝cos60°＋isin60°＝＋i (B)×：原式化为cos（22°＋250°－227°）＋isin（22°＋250°－227°） ＝cos45°＋isin45° ＝－i (C)○：原式化为＝ ＝cos（32°＋28°）＋isin（32°＋28°） ＝＋i (D)：原式化为cos（12° × 10）＋isin（12° × 10）＝－＋i (E)○：原式化为 ＝ ＝cos（160°－60°－100°）＋isin（160°－60°－100°） ＝1＋0＝1 故选(A)(C)(D)(E) 6. 已知椭圆 ?：＋＝1，若点 P（x，y）在椭圆 ? 上，试求 6x＋4y 的最大值与最小值，并求此时的 P 点坐标。（8 分） 解 若 P（x，y）在椭圆 ?：＋＝1 上，则 x＝cosθ，y＝2 sinθ 6x＋4y＝6 cos?＋4（2 sin?）＝6 cos?＋8 sin?＝10 ＝10（sin? cos?＋cos? sin?）＝10 sin（?＋?），此时 sin?＝，cos?＝ ?当 sin（?＋?）＝－1 时，6x＋4y 有最大值－10 此时 ?＋?＝－ ? 得 P 点坐标为 ?当 sin（?＋?）＝－1 时，6x＋4y 有最大值－10 此时 ?＋?＝－ ? 得 P 点坐标为 7. 设z＝1－cos60°＋isin60°，则： (1)｜z｜＝　　　。（4 分） (2)z的主辐角为　　　。（4 分） 解 z＝1－cos60°＋isin60°＝1－（1－2sin230°）＋i × 2sin30°cos30° ＝2sin30°（sin30°＋icos30°）＝2cos30°（cos60°＋isin60°） (1)｜z｜＝2cos30°＝1 (2)z的主辐角为60° 8. 设z＝＋i，， (1)若zn为实数，则n最小值为　　　。（3 分） (2)若zn＞0，则n最小值为　　　。（3 分） (3)若zn为纯虚数，则n最小值为　　　。（3 分） 解 ∵＋i＝2＝2 (1)zn＝2n ? sin＝0 ? ＝π，2π，3π，……，11π，……? n最小值为6 (2)zn＞0 ? ? ＝2π，4π，6π，……，22π，……? n最小值为12 (3)zn为纯虚数 ? cos＝0 ? ＝，，，……，，……? n最小值为3 9. 考虑函数f（x）＝2sin3x，试问下列选项何者为真？（8 分） (A)－2 ? f（x）? 2 (B)f（x）的周期为 (C)f（x）在x＝时有最大值 (D)y＝f（x）的图形对称于直线x＝ (E)f（2）＞0。 解 (A)○：∵－1 ? sin3x ? 1　∴－2 ? 2sin3x ? 2 ? －2 ? f（x）? 2 (B)○：∵y＝sinkx的周期为　∴y＝2sin3x的周期为 (C)○：x＝代入得值为2，且最大值为2 (D)○：由下图