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最值系列之辅助圆
最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值.将军饮马问题中，折点P
就是那个必须存的动点.并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所直线的对称即可.
当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆.
这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也
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最值系列之瓜豆原理
在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一一求出动点轨，即可求出关于动点的
最值.
本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P,但最终问题问
的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨并求出最值，为常规思路.
一、轨之圆篇
引例1：如图.P是圆O上一个动点,A为定点连接AP,Q
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2024年中考数学复习：最值系列之——将军饮马(一).pdf
最值系列之——将军次马（-）
一、什么是将军饮马？
【问题引入】
“白日登山望火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顽《古从军行》里的一句诗.而由此却引申出一系列非
常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”.
【问题描述】
如图，将军在图中点A处，他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
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最值系列之——将军饮马(二)
【将军过桥】
已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短?
考虑MN长度恒定，只要求.AM+NB最小值即可.问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A
问题化为求.AN
【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】
【将军过两个桥】
已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短?
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM
AP平移至AQ,NB平移至MB,化.AP
当A、Q、M
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最值系列之——将军饮马(一)
一、什么是将军饮马?
【问题引入】
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗.而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”.
【问题描述】
如图，将军在图中点A处，他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短?
【问题简化】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小?
【问题分析】
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段.
【问题解决】
作点A关于直
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2024年中考数学复习-最值系列之瓜豆原理.docx
最值系列之瓜豆原理
在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值.
本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路.
一、轨迹之圆篇
引例1:如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是?
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是O
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最值系列之“胡不归”问题
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+k·PB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型.
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…”(“胡”同“何”)
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更
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2024年中考数学复习-最值系列之阿氏圆问题.docx
最值系列之阿氏圆问题
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆.
如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k(k≠1)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.
下给出证明
法一：首先了解两个定理
(1)角平分线定理:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,则AB
证明：SABDSACD=BD
(2)外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC
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2024年中考数学几何辅助线专题复习讲义：专题四 遇到求线段和差的最值怎么作辅助线.docx
专题四遇到求线段和差的最值怎么作辅助线
4.1将军饮马
知识储备
1.轴对称的知识
(1)轴对称的性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.
(2)轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
(3)对称轴的判定：①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
②轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
③对称轴是到线段两端距离相等的点的集合.
(4)线段的性质：两点之间，线段最短.
(5)线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条
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2024年中考数学复习：（加权）线段和的最值问题复习讲义.pdf
(加权)线段和的最值问题复习讲义
线段和的最值问题是全国各地中考的热门题型，其表现形式要有两种，即“a+b”型和“a+k-b”型.其中“a+b”型
问题以“将军饮马问题”为，再辅以各类变式，也有少量的“费马点问题”(“a+b+c”型).而“a+k-b”型问题要有三类：
“胡不归问题”、阿波罗尼斯圆问题、定边对定角问题.
解决这类问题的方法要有代数法和几何法.代数法的本质是：点的运动导致量的变化，通过设参数，建立函
数模型破解.而本讲中重点介绍的是几
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点到圆的距离最值问题复习讲义
典例精析
【题目6-14］如图6-53,已知AB，BC,AB=8,BC=6,BD=2,E为BC上的一个动点，点B关于DE的称点为P,
连接AP,CP,当四边形ABCP面积最大时,DE=.
解法1如
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函数与图形的最值复习讲义
知识必备
线段的最值
⑴点与点之间的最小值一利用“两点之间，线段最短”构“共线”的情况，从而确定最值；
⑵点与线之间的最小值一利用“点与直线上各点的连线中，垂线段最短”构“垂直”的情况，从而确定最值.
特别提醒：1（）在解决线段的最小值问题时，一定要注意是求两点之间的最小值，还是求点与线之间的最小值；
⑵如果计算两条线之间的最小值，可以从一条线上取一点向另一条线作垂线段
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(加权)线段和的最值问题复习讲义
线段和的最值问题是全国各地中考的热门题型，其表现形式主要有两种，即“a+b”型和“a+k·b”型.其中“a+b”型问题以“将军饮马问题”为主，再辅以各类变式，也有少量的“费马点问题”(“a+b+c”型).而“a+k·b”型问题主要有三类：“胡不归问题”、阿波罗尼斯圆问题、定边对定角问题.
解决这类问题的方法主要有代数法和几何法.代数法的本质是：点的运动导致量的变化，通过设参数，建立函数模型破解.而本讲中重点介绍的是几何法.几何构造的指导思想是“变中藏不变”，找到运动过程中不变的要素是解题的突破口，例如不变的位置、不变的形状、不变的大小、不变的关系等.具体操作方
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函数与图形的最值复习讲义
知识必备
线段的最值
(1)点与点之间的最小值—利用“两点之间，线段最短”构造“共线”的情况，从而确定最值；
(2)点与线之间的最小值——利用“点与直线上各点的连线中，垂线段最短”构造“垂直”的情况，从而确定最值.
特别提醒：(1)在解决线段的最小值问题时，一定要注意是求两点之间的最小值，还是求点与线之间的最小值；(2)如果计算两条线之间的最小值，可以从一条线上取一点向另一条线作垂线段，利用勾股定理或函数的最值计算求解.
方法技巧
1.求线段最值的方法
(1)利用几何模型：首先利用将军饮马、胡不归等几何模型确定最短路径，再利用勾股定理等几何知识求解.
模型
图示
基本
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2024年中考数学复习：最值综合练习复习讲义.pdf
最值综合练习复习讲义
典例精析
222
【题目6-17］已知0al,0bl,求，yja+b+Ja+(1—b)2+J(1—a)2+炉的最小值.
解法如图6-64,在平面角坐标系中，在x轴、y轴正半轴上
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2024年中考数学复习-函数区间最值问题复习讲义.docx
函数区间最值问题复习讲义
解题方法
函数与最值问题主要是考察二次函数与区间最值问题.一次函数和反比例函数的最值问题直接根据函数增减性进行计算即可.
遇到二次函数求最值问题，要考虑分类讨论.
对于二次函数y=ax2+bx+ca0)(y???表示y
(1)若自变量x的取值范围为全体实数，如图4-3-1(a)所示，函数在顶点处x=-b
(2)若m≤x≤n-b2a,如图4-3-1(b)所示,当x=m时,x=m
(3)若-b2am≤x≤n,如图4-3-1(c)所示,当x=m时,x
(4)若m≤x≤n,且m≤-b2a≤n,n-b2a-b
实例分析
已知抛物线y=3ax2+2bx+c.若a=13
解析
a=