2024年中考数学复习-(加权)线段和的最值问题复习讲义.docx

(加权)线段和的最值问题复习讲义

线段和的最值问题是全国各地中考的热门题型，其表现形式主要有两种，即“a+b”型和“a+k·b”型.其中“a+b”型问题以“将军饮马问题”为主，再辅以各类变式，也有少量的“费马点问题”(“a+b+c”型).而“a+k·b”型问题主要有三类：“胡不归问题”、阿波罗尼斯圆问题、定边对定角问题.

解决这类问题的方法主要有代数法和几何法.代数法的本质是：点的运动导致量的变化，通过设参数，建立函数模型破解.而本讲中重点介绍的是几何法.几何构造的指导思想是“变中藏不变”，找到运动过程中不变的要素是解题的突破口，例如不变的位置、不变的形状、不变的大小、不变的关系等.具体操作方法是：通过轴对称、旋转、平移、剪拼、位似缩放等变换手段，转移线段的位置，并有机地聚合线段.

如何转移、聚合线段呢?可以通过如下流程来达成.

此类问题一般能化归为以下两个基本模型.

①多条线段聚合成折线，且折线两端点均为定点(或相对位置固定)，则可根据“两点之间，线段最短”将折线转化为线段求最值，如图7-1.

②折线化直以后，该线段在一个定点与一条定直线之间，或在平行线之间，根据“垂线段最短”将斜线段转化为垂线段求最值，如图7-2和图7-3.本讲将会通过几组例题，来具体探讨此类问题的解题策略.

类型1：“将军饮马问题”及其变式

【题目7-1】如图7-4,已知A(3,4),B(-1,1),在x轴上取两点E,F,且始终保持EF=1,线段EF在x轴上平移，当四边形ABEF周长最小时，求点E的坐标.

名师思路引领：

在四边形ABEF中，AB，EF为定值，所以只需求出BE+AF的最小值即可，关键在于将点E，F重合.

而将两点重合的同时，又不能改变BE与AF的长度，有何办法?

通过上述引导，力求让学生体会到全等变换的特征，从而联想到“平移”，得到两种类似的变换方法：平移BE使点E与点F重合；平移AF使点F与点E重合.

解法1如图7-5，将点A向左平移1个单位长度到A(2,4),

作点B关于x轴的对称点B(-1,-1),

求得AB交x轴于点E-2

点拨：此题只是把平常的“动点”问题变成“动线段”问题，只需将“线段”变回“点”即可，追根溯源，搞清楚问题的来龙去脉，理解起来就没有那么难了.

解法2设点E(x,0),

则

根据该式构造图7-6，

则当P,O,Q三点共线时,BE+AF最小,

此时α=β,即△POM∽△QON,

可得14=x+12-x

点拨：解法1的构造方法，对学生来说应该是一个极大的难点.一般来说，学生更喜欢代数方法，大多学生会列出BE+AF=x+12+1

解法3如图7-7,构造△AEN≌△AFN,则MN的长度是定值3,故A是定点,坐标为(2,-4),则BE+AF=BE+AE.

当A,E,B三点共线时,BE+AE最小,此时点E的坐标为-

点拨：1.如果线段的转化、转移有一定难度，可以不用考虑平移、翻折、旋转这些固定的模式，直接采用剪切、拼贴的办法，“暴力”地进行“乾坤大挪移”，以达到线段聚合的目的.如何进行剪拼呢?可以以线带面，以面驭线，一般情况下，都是构造直角三角形，然后将直角三角形进行剪拼.

2.体会解法2和解法3最后所构图形的相同之处，感受“数”与“形”的完美契合.

3.解决动态问题的基本思维方式就是以静制动，在变化之中找出不变.例如解法3中不变的有：A,B两点的横坐标之差(即MN)是定值4,EF是定值1，则ME+FN是定值3，故A是定点.这些都是破解本题的突破口.

4.解法3也存在一个很大的缺憾，就是事先已假定了EF在点M，N之间，若不然，则理解起来将会很困难.

赏析1.解决动态问题的基本思想是在变化之中找不变：位置不变、形状不变、大小不变.“周长最值问题”的本质是“线段和最值问题”，存在哪些不变要素呢?首先，若有两个定顶点，则有一条边是定值；其次，有一条长度不变的动边，这样就将四条线段之和的最小值简化为两条线段之和的最小值，达到化繁为简的目的.此外，还能产生一些隐性的不变要素(在解法3中有阐述).

2.面对不熟悉的问题，应该追根溯源，向熟悉的问题转化、迁移.例如本题的解法中，将“线段”压缩成“点”，将有宽度的“形”压缩成没有宽度的“线”，都是非常自然的迁移方式.

3.数学探究应遵循学生的思维习惯，尊重学生的思考成果，不能扼杀学生的思维火花，不能将老师自己的思路强加给学生.所以在解决本题的过程中，老师不应该直接抛出“线段转移”的思路，应该站在学生的立场上，思考学生会怎么想、怎么做，将学生作为思考的主体，让他们大胆尝试，勇于接受失败.这才是一种真正意义上的探究，而不是事先设置好探究结果的伪探究。

【题目7-2】如图7-8,在矩形ABCD中,AB=8,AD=4,M是AB上的动点,