2024年中考数学复习-最值系列之胡不归问题.docx

最值系列之“胡不归”问题

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+k·PB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型.

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…”(“胡”同“何”)

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家?

【模型建立】

如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1V2,A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACV2

【问题分析】

ACV2+BC

即求BC+kAC的最小值.

【问题解决】

构造射线AD使得：sin

将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC

【模型总结】

在求形如“PA+k·PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k·PB相等的线段，将“PA+k·PB”型问题转化为“PA+PC”型.

而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k·PB的等线段.

如图,△ABC中,.AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D

【分析】本题关键在于处理“55BD”,考虑tanA=2,△ABE三边之比为1:2:5,sin∠ABE55,故作DH

问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时(CD

【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：

则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在.

如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,BC=2,,P为边CD上的一动点

【分析】考虑如何构造32PD”,已知∠A=60°,且sin60°=32,故延长AD,作PH⊥AD

当B、P、H三点共线时,可得PB+PH取到最小值,即BH的长,解直角△ABH即可得BH长

如图，已知抛物线y=k8x+2x-4(k为常数,且k△0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y

(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?

【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A(-2，0)，B(4，0)，直线解析式为y=-33x+433,D点坐标为(-5,33)，故抛物线解析式为

点M运动的时间为AF+12DF,

接下来问题便是如何构造.DF2,考虑BD与x轴夹角为30°,且DF方向不变,故过点D作DM∥x轴,过点F作FH⊥DM交DM于H点,则任意位置均有

当A、F、H共线时取到最小值，根据A、D两点坐标可得结果.

抛物线y=-66x2-233x+6与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F,PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是

【分析】根据抛物线解析式得A-320、B20、C0

根据题意考虑，P在何处时，PE+EC2取到最大值.过点E作EH⊥y轴交y轴于H点,则∠CEH=30°,

考虑到PE于CH并无公共端点，故用代数法计算，设Pm-66m2-

当P点坐标为(-226时，取到最小值，故确定P、