专题38 中考最值难点突破胡不归问题（原卷版）.pdf
专题38中考最值难点突破胡不归问题（原卷版）
模块一典例剖析+针对训练
类型一有辅助角(隐含辅助角)
典例1点P在直线上运动“胡不归“问题
【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶
路．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所心以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B
（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽
了气，小伙子失声痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？何以
归”．这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路
线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”．
针对训练
1．（2022春•江汉区月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点
3
P是BD上动点，则+的最小值是．
2
2．（2021春•丽水期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点．
求：（1）当PD＝时，PB最短；
1
（2）PB+PD的最小值等于．
2
2
3．（2017春•农安县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax+bx+c的图象经过点A（﹣1，
0），B（0，―3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形
为菱形，求点M的坐标；
1
（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值．
2
类型二构造辅助角
典例2（2021春•金牛区期末）如图，长方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，点P是线段AD上一动点，连接
1
BP，则BP+DP的最小值为．
2
针对训练
1．（2019•灞桥区校级一模）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E为线段AB上一动点，连接CE，则
1
AE+CE的最小值为．
2
2．（2020秋•宜兴市期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（25，0），点B为（0，1），若C为线段
2
OA上一动点，则BC+AC的最小值是．
3
3．（2016•随州中考）如图所示，已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、
B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=―3x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐
标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿
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线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动