第四章 微专题 相似三角形模型.ppt

微专题相似三角形模型

一、A字模型模型概述：两个三角形有一个公共角(∠A)，此时需要找另一对角相等.若题中未明确相似三角形的对应顶点，则需要分类讨论.

【针对训练】 1.(2024·河南)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为()B 1A. 2B.1C.43D.2

2.(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是______________.(写出一种情况即可)∠ADE＝∠C

︵3.(2024·无锡)如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CD＝︵DB，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD.(1)求证：△CAD∽△CEA；(4分)(2)求∠ADC的度数.(6分)

︵︵(1)证明：∵CD＝DB，∴∠CAD＝∠DAB.∵DE＝AD，∴∠DAB＝∠E，∴∠CAD＝∠E.又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CEA.(2)解：连接BD，如图.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.

设∠CAD＝∠DAB＝α，则∠CAE＝2α.由(1)知△CAD∽△CEA，∴∠ADC＝∠CAE＝2α.∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠CAB＋∠CDB＝180°，即2α＋2α＋90°＝180°，解得α＝22.5°.∴∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45°.

二、8字模型模型概述： 两个三角形有一组隐含的等角(如对顶角)，此时需要从已知条件、图中的隐含条件或通过证明得出另一组角相等.若题中未明确相似三角形的对应顶点，则需要分类讨论.如图，在△ABC与△ADE中，∠1＝∠2，有一组对顶角(∠EAD＝∠CAB)，则△ABC∽△ADE.

【针对训练】4.(2024·辽宁)如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4.若AB＝6，则CD的长为______.12

5.(2024·眉山)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为_________.

6.(2023·眉山)如图，在?ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F.(1)求证：AF＝AB；(4分)(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长.(6分)

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F.∵点E是AD的中点，∴DE＝AE，∴△CDE≌△FAE(AAS)，∴CE＝EF.∵AE∥BC，∴AF＝AB.

(2)解：∵AG＝2，FG＝6，∴AF＝FG＋AG＝6＋2＝8，∴AB＝AF＝8.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8.∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，∴∠F＝∠FCG，∴CG＝FG＝6.∵CD∥AF，∴△DCH∽△AGH，∴GH＝1.2.

三、一线三等角模型(相似) 模型概述： 三个等角顶点在同一直线上，要证明三角形相似，可根据三角形内角和及补角的性质得另一组等角. 如下图，在△APC和△BDP中，∠1＝∠2＝∠3.其中点A，P，B三点在同一条直线上，则△APC∽△BDP.锐角一线三等角一线三垂直钝角一线三等角图1点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3(同侧型)

锐角一线三等角一线三垂直钝角一线三等角图2点P在线段AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3 (异侧型)

∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，Rt△ADC∽Rt△CEB∠BDO＝∠ACO＝∠BOA＝90°，Rt△BDO∽Rt△OCA∠FBE＝∠ECG＝∠FEG＝90°，Rt△FBE∽Rt△ECG∠FBE＝∠ECG＝∠FEG＝90°，Rt△FBE∽Rt△ECG

【针对训练】7.(2023·邵阳)如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.(1)证明：△ABC∽△DEB；(4分)(2)求线段BD的长.(6分)

(1)证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB.(2)解：由(1)知△ABC∽△DEB，

8.如图，在等边三角形ABC中，点P是边BC上一动点(点P不与端点重合)，作∠DPE＝