考点23 利用导数比较大小4种常见考法归类 -【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第二册)（解析版）.docx
考点23利用导数比较大小4种常见考法归类
在导数问题中,有很多数式的大小比较问题.它们一般都是用函数的单调性比较大小,但是由于题目常常将函数的自变量赋为特殊值,并对式的结构进行了重组,使得问题的本质被形式掩盖,问题的解决不易人手,因此成为学生学习的一个难点.在解决这类问题时,应利用作差、作商、同构、放缩、取对数等数学方法先进行变形,再抓住其中相同的数,常值换元,构造函数,利用函数的单调性比较大小,就可以化繁为简,化难为易.
一、利用作差或作商法构造函数
作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看作变量x,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“x”加以表示,从而可考虑通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.
二、利用同构法构造函数
1、同构也是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln?
2、对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(?
常见指数、对数的同构函数有:
(1)y=xe
(2)y=ex
(3)y=x+
(4)y=ex
利用放缩法构造函数
放缩法也是构造函数的重要方法.它是利用放缩法将两个式子的结构化成相同形式,再用常值代换构造函数,利用函数的单调性比较大小的方法.常用的放缩不等式有
ln?
(1?
利用取对数法构造函数
在比较ab与ba,1+1
在利用导数比较数的大小时,应抓住数的表达式中相同的部分去粗取精,去伪存真,通过代数变形将数的表达式向结构相同的方向转化,最后由常值代换构造函数,利用函数的单调性解决问题.
注：灵活运用函数y=
对函数y=ln?xx,求导得y′=1?ln?xx2,其中x0,所以令y′0,可得0xe,令y′0,可得xe.因此,函数y=ln?xx在
考点一利用作差或作商法构造函数
考点二利用同构法构造函数
考点三利用放缩法构造函数
考点四利用取对数法构造函数
考点一利用作差或作商法构造函数
1．设a=10.99
A.abcB.bc
【解析】方法一：(作商法)由ba=0.99e0.01,将0.01看作x,常值换元,构造函数f(x)=(1?x)ex
又cb=1.02e0.02,设g(x)=1+xe
方法二：(作差法)由a?b=10.99?e0.01=10.99(1?0.99
又b2?c2=e0.02?1.02,将0.02看作x,常值换元,设g(x)=
2．设a=2ln?1.01,b
A.abcB.bc
【解析】由a?b=2ln?1.01?ln?1.02,将0.01看作x,常值换元,设f(x
由a?c=2ln?1.01?(1.04?1),同理可设g(x)=ln?(1+x)2?1+4x+1(0
由b?c=ln?1.02?1.04+1,将0.02看作x,常值换元,构造函数?(x
综上,选B.
3．（2023·四川巴中·统考一模）若，则的大小关系为（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设根据单调性可得，再利用不等式的性质可得，设，确定其的单调性，即可得，从而可得答案．
【详解】设，则恒成立，
所以函数在上单调递减，则，即，
所以，于是有，即；
设，，时，，
设，则，时，，
所以是减函数，所以恒成立，
所以在时是减函数，并且，
所以时，，所以．
综上，．
故选：A．
4．（2023·四川泸州·泸县五中校考二模）已知，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设，利用导数可得在上单调递减，从而有，即；令，利用导数可得在上单调递减，从而有，即，即可得答案.
【详解】设，则有，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，
即有，
故；
令，则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，
即，
故，
综上所述，则有.
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较大小的题目，常用的方法有：(1)作差法；(2)作商法；(3)利用函数的单调性进行比较.
5．（2023·青海西宁·统考一模）已知是自然对数的底数，，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，根据单调性可知，代入可证明，构造，根据单调性可知，代入可证明，即可得到结果.
【详解】令函数，则．当时，，单调递减，当时，，单调递增．故，
则，即；
令函数，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减．故，则，即.
故选：A
6．（2023