考点20 数列13种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第二册)（解析版）.docx

考点20数列13种常见考法归类

策略1数列的前n项和Sn与an的关系

1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即

Sn＝a1＋a2＋…＋an.

2．数列的前项和和通项的关系：则

特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．

策略2等差数列的四种判断方法

(1)定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；

(2)等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;

(3)通项公式：(为常数,)?是等差数列;

(4)前项和公式：(为常数,)?是等差数列;

(5)是等差数列?是等差数列.

提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.

策略3等差数列的性质应用

（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；

（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，SKIPIF10时，则SKIPIF10，SKIPIF10是SKIPIF10的等差中项.

（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；

（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列

（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．

（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．

（7）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即SKIPIF10成等差数列，公差为n2d；

（8）设数列是等差数列，且公差为，

①若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；

②若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；；②.

（9）等差数列中，,则,.

注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)

（10）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.

（11）若{an}是等差数列，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2)；

策略4等差数列的前n项和的最值

(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．

在等差数列{an}中，

当，时，有最大值(即所有非负项之和)；，时，有最小值(即所有非正项之和)；

若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值.

(2)利用等差数列的前n项和：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n((为常数,))，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值,通过配方或借助图像，二次函数的性质等，将等差数列的前n项和最值问题转化为二次函数的最值的方法求解.

注：当a10，d0时Sn有最小值S1，当a10，d0时Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一．

策略5等比数列的判定与证明

证明等比数列的方法

1．定义法：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)；

2．等比中项法：aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)；

3．通项公式法：an＝a1qn－1.

注：用定义法证明时，eq\f(an,an－1)和eq\f(an＋1,an)中的n的范围不同

策略6等比数列性质的应用

在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，如：，，，，……；，，，，……；

注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．

（2）在等比数列中，对任意，，；

（3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，SKIPIF10时，则SKIPIF10，SKIPIF10是SKIPIF10的等比中项.也就是：，如图所示：.

（4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\