高数学《大二轮专题作业增分策略》专题六概率、随机变量及其概率分布.doc

PAGE / NUMPAGES 第2讲概率、随机变量及其概率分布 【高考考情解读】1.该部分常考内容有几何概型、古典概型、离散型随机变量的概率分布、均值、方差，常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，两种题型都有可能出现，填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的概率分布等，都属于中、低档题． 1．随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1； 不可能事件的概率为0. (2)古典概型的概率 P(A)＝eq \f(m,n)＝eq \f(A中所含的基本事件数,基本事件总数). (3)几何概型的概率 P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度(面积或体积(,试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积(). 2．条件概率 在A发生的条件下B发生的概率： P(B|A)＝eq \f(P(AB(,P(A(). 3．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 4．独立重复试验 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为 Pn(k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 5．超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n. 6．离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi的概率为P(ξ＝xi)＝pi，则称下表： ξ x1 x2 x3 … xi … P p1 p2 p3 … pi … 为离散型随机变量ξ的概率分布表． (2)离散型随机变量ξ的概率分布具有两个性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1,2,3，…)． (3)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望，简称期望． V(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xn－E(ξ))2·pn＋…叫做随机变量ξ的方差． (4)性质 ①E(aξ＋b)＝aE(ξ)，V(aξ＋b)＝a2V(ξ)； ②X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)； ③X～两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p). 考点一古典概型与几何概型 例1已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率； (2)设点(a，b)是区域eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0，,x0，,y0))内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率． 解(1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝eq \f(2b,a)，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a0且eq \f(2b,a)≤1，即2b≤a. 若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1,1； 若a＝3，则b＝－1,1. ∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5. ∴所求事件的概率为eq \f(5,15)＝eq \f(1,3). (2)由(1)，知当且仅当2b≤a且a0时， 函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 {(a，b)|eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0，,a0，,b0))}， 构成所求事件的区域为三角形部分． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b－8＝0，,b＝\f(a,2)))得交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，\f(8,3)))， ∴所求事件的概率为P＝eq \f(\f(1,2)×8×\f(8,3),\f(1,2)×8×8)＝eq \f(1,3). (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识． (2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性． (3)当构成试验的结果的